计算用于定义二次贝塞尔曲线子部分的参数

Question

我有一个描述为（startX，startY）到（anchorX，anchorY）并使用控制点（controlX，controlY）的二次贝塞尔曲线。

我有两个问题：

（1）我想根据x点确定该曲线上的y点。

（2）然后，在我的贝塞尔曲线上给出一个线段（由我的贝塞尔曲线上的两个中间点定义（startX'，startY'，anchorX'，anchorY'）），我想知道该线段的控制点这样它就会与原始贝塞尔完全重叠。

为什么？ 我想要这些信息进行优化。 我画了许多水平贝塞尔。 当beziers大于屏幕时，性能会受到影响，因为渲染引擎最终渲染超出了可见范围。 这个问题的答案将让我只渲染可见的东西。

Answer 1

第1部分

二次贝塞尔曲线的公式为：

B(t) = a(1-t)2    + 2bt(1-t)   + ct2
     = a(1-2t+t2) + 2bt - 2bt2 + ct2
     = (a-2b+c)t2+2(b-a)t + a

其中粗体表示矢量。 给定B _x （t），我们得到：

x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

其中，v _x是V的x分量。

根据二次方程式，

-2(bx-ax) ± 2√((bx-ax)2 - ax(ax-2bx+cx))
t = -----------------------------------------
             (2ax(ax-2bx+cx))

     ax-bx ± √(bx2 - axcx)
  = ----------------------
         ax(ax-2bx+cx)

假设存在一个解，则将其插回到原始方程中，以获得给定x处的B （t）的其他分量。

第2部分

您可以简单地将参数参数的域限制为[0,1]的正确子区间，而不是生成与第一个部分重合的第二条Bezier曲线（我现在感觉不像是处理符号）。 也就是说，使用第1部分为两个不同的x值找到t的值; 将这些t值称为i和j。 绘制B （t）为t∈[i，j]。 等价地，绘制B （t（ji）+ i）t∈[0,1]。

Answer 2

t方程是错误的，你需要使用eq（1）

(1) x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

并使用根的二次方程式求解它（2）。

           -b ± √(b^2 - 4ac)
  (2)  x = -----------------
              2a

哪里

a = ax-2bx+cx
b = 2(bx-ax)
c = ax - x