随机快速排序：两个元素比较的概率？

Question

我正在阅读M.Mitzenmacher和E.Upfal的“ 概率与计算 ”。 我在理解如何计算两个元素的比较概率时遇到问题。

输入：数字的排序列表（y1，y2，...，yN）。 我们正在寻找枢轴元素（随机）。 问题：两个元素yi和yj（j> i）的概率是多少？

答案（来自书）： yi和yj将被比较，如果yi或yj将被选为第一次从序列中绘制的枢轴（yi，yi + 1，...，yj-1，yj）。 所以可能性是：2 /（j-i + 1）。

对我来说问题是最初的主张：例如，在整个列表的第一次抽奖中拾取yi将导致与yj的比较（反之亦然），概率为2 / n。

因此，相反“反向”声明是正确的 - 在yi或yj之前不能选择（yi + 1，...，yj-1）元素，但“池”大小不固定（在第一次绘制中）它肯定是N，但在第二个它更小）。

有人可以解释作者如何提出这样一个简化的结论吗？

Edit1：一些好心灵打磨了我的帖子，谢谢:-)。

Edit2：列表最初排序。

Answer 1

Quicksort通过将每个元素与枢轴进行比较来工作：大于枢轴的那些元素放置在枢轴的右侧，而那些不大于左侧的元素（或者如果您想要降序排序，则无关紧要） 。

在每个步骤中，从序列(yi, yi+1, ..., yj)选择枢轴。 这个序列中有多少个元素？ j - i + 1 （我认为你有一个错字，它不能是y - i + 1 ）。

因此，从该列表中选择两个特定元素之一的概率显然是2 / (j - i + 1) 。

对我来说问题是最初的主张：例如，在整个列表的第一次抽奖中拾取yi将导致与yj的比较（反之亦然），概率为2 / n。

挑选yi将使其仅与其他j - i元素进行比较。 你n的？ 请记住，您的列表仅从yi到yj ！

编辑 ：

再次阅读这个问题，我发现它有点含糊不清。 如你所说， 在递归的第一步比较两个元素的概率确实是2 / n ，因为i和j是1和n 。 我在上面解释了在未知递归步骤中比较两个元素的概率。

Answer 2

作者给出的答案是正确的，尽管我仍然没有看到他们如何轻松快速地得出结论。

让我们用L = j-i + 1来表示。 这里j和i的实际值无关紧要，重要的是L。我们还用P（N，L）表示从大小为N的有序序列中比较yi和yj元素的概率。

事实：

• P（N，2）= 1
• P（N，L）= 2 / N + 1 / N *（P（N-1，L）+ P（N-2，L）+ P（N-3，L）+ ... + P（L ，L））

这个总和看起来很丑，但经过两次测试后，似乎P（N，L）可能等于2 / L. 让我们来看看：

• P（N，L = 2）= 1 = 2/2 = 2 / L.
• 我们假设P（N，L）= 2 / L.
• P（N + 1，L）= 2 /（N + 1）+ 1 /（N + 1）*（P（N，L）+ ... P（L，L））= 2 /（N + 1） ）+（N-L + 1）* 1 /（N + 1）* 2 / L = 2 / L.

由于L = j-i + 1，我们得到2 /（j-i + 1）。