求解线性方程

Question

我需要用 C、Objective C 或（如果需要）C++ 以编程方式求解线性方程组。

下面是方程的一个例子：

-44.3940 = a * 50.0 + b * 37.0 + tx
-45.3049 = a * 43.0 + b * 39.0 + tx
-44.9594 = a * 52.0 + b * 41.0 + tx

由此，我想获得a 、 b和tx的最佳近似值。

Answer 1

Cramer's Rule和Gaussian Elimination是两种很好的通用算法（另请参阅Simultaneous Linear Equations ）。 如果您正在寻找代码，请查看GiNaC 、 Maxima和SymbolicC++ （当然，这取决于您的许可要求）。

编辑：我知道你在 C 领域工作，但我也必须为SymPy （Python 中的计算机代数系统）说一句好话。 你可以从它的算法中学到很多东西（如果你能读懂一点 Python）。 此外，它在新的 BSD 许可下，而大多数免费数学包是 GPL。

Answer 2

您可以使用与手动解决完全相同的方式（通过乘法和减法，然后将结果反馈到方程中）使用程序来解决此问题。 这是非常标准的中学水平数学。

-44.3940 = 50a + 37b + c (A)
-45.3049 = 43a + 39b + c (B)
-44.9594 = 52a + 41b + c (C)

(A-B): 0.9109 =  7a -  2b (D)
(B-C): 0.3455 = -9a -  2b (E)

(D-E): 1.2564 = 16a (F)

(F/16):  a = 0.078525 (G)

Feed G into D:
       0.9109 = 7a - 2b
    => 0.9109 = 0.549675 - 2b (substitute a)
    => 0.361225 = -2b (subtract 0.549675 from both sides)
    => -0.1806125 = b (divide both sides by -2) (H)

Feed H/G into A:
       -44.3940 = 50a + 37b + c
    => -44.3940 = 3.92625 - 6.6826625 + c (substitute a/b)
    => -41.6375875 = c (subtract 3.92625 - 6.6826625 from both sides)

所以你最终得到：

a =   0.0785250
b =  -0.1806125
c = -41.6375875

如果将这些值重新插入 A、B 和 C，您会发现它们是正确的。

诀窍是使用一个简单的 4x3 矩阵，它依次减少到一个 3x2 矩阵，然后是一个 2x1，即“a = n”，n 是一个实际数字。 一旦你有了它，你将它输入下一个矩阵以获得另一个值，然后将这两个值输入下一个矩阵，直到你解决了所有变量。

如果你有 N 个不同的方程，你总是可以求解 N 个变量。 我说不同是因为这两个不是：

 7a + 2b =  50
14a + 4b = 100

它们是相同的等式乘以 2，因此您无法从它们中得到解决方案 - 将第一个乘以 2 然后减去让您得到真实但无用的陈述：

0 = 0 + 0

---

举例来说，这里有一些 C 代码可以计算出您在问题中出现的联立方程。 首先是一些必要的类型、变量、用于打印方程的支持函数以及main的开始：

#include <stdio.h>

typedef struct { double r, a, b, c; } tEquation;
tEquation equ1[] = {
    { -44.3940,  50, 37, 1 },      // -44.3940 = 50a + 37b + c (A)
    { -45.3049,  43, 39, 1 },      // -45.3049 = 43a + 39b + c (B)
    { -44.9594,  52, 41, 1 },      // -44.9594 = 52a + 41b + c (C)
};
tEquation equ2[2], equ3[1];

static void dumpEqu (char *desc, tEquation *e, char *post) {
    printf ("%10s: %12.8lf = %12.8lfa + %12.8lfb + %12.8lfc (%s)\n",
        desc, e->r, e->a, e->b, e->c, post);
}

int main (void) {
    double a, b, c;

接下来，将三个未知数的三个方程化简为两个未知数的两个方程：

    // First step, populate equ2 based on removing c from equ.

    dumpEqu (">", &(equ1[0]), "A");
    dumpEqu (">", &(equ1[1]), "B");
    dumpEqu (">", &(equ1[2]), "C");
    puts ("");

    // A - B
    equ2[0].r = equ1[0].r * equ1[1].c - equ1[1].r * equ1[0].c;
    equ2[0].a = equ1[0].a * equ1[1].c - equ1[1].a * equ1[0].c;
    equ2[0].b = equ1[0].b * equ1[1].c - equ1[1].b * equ1[0].c;
    equ2[0].c = 0;

    // B - C
    equ2[1].r = equ1[1].r * equ1[2].c - equ1[2].r * equ1[1].c;
    equ2[1].a = equ1[1].a * equ1[2].c - equ1[2].a * equ1[1].c;
    equ2[1].b = equ1[1].b * equ1[2].c - equ1[2].b * equ1[1].c;
    equ2[1].c = 0;

    dumpEqu ("A-B", &(equ2[0]), "D");
    dumpEqu ("B-C", &(equ2[1]), "E");
    puts ("");

接下来，将两个未知数的两个方程化简为一个未知数的方程：

    // Next step, populate equ3 based on removing b from equ2.

    // D - E
    equ3[0].r = equ2[0].r * equ2[1].b - equ2[1].r * equ2[0].b;
    equ3[0].a = equ2[0].a * equ2[1].b - equ2[1].a * equ2[0].b;
    equ3[0].b = 0;
    equ3[0].c = 0;

    dumpEqu ("D-E", &(equ3[0]), "F");
    puts ("");

现在我们有了number1 = unknown * number2类型的公式，我们可以简单地用unknown <- number1 / number2算出未知值。 然后，一旦您计算出该值，将其代入具有两个未知数的方程之一并计算出第二个值。 然后将这两个（现在已知的）未知数代入原始方程之一，您现在拥有所有三个未知数的值：

    // Finally, substitute values back into equations.

    a = equ3[0].r / equ3[0].a;
    printf ("From (F    ), a = %12.8lf (G)\n", a);

    b = (equ2[0].r - equ2[0].a * a) / equ2[0].b;
    printf ("From (D,G  ), b = %12.8lf (H)\n", b);

    c = (equ1[0].r - equ1[0].a * a - equ1[0].b * b) / equ1[0].c;
    printf ("From (A,G,H), c = %12.8lf (I)\n", c);

    return 0;
}

该代码的输出与此答案中较早的计算相匹配：

         >: -44.39400000 =  50.00000000a +  37.00000000b +   1.00000000c (A)
         >: -45.30490000 =  43.00000000a +  39.00000000b +   1.00000000c (B)
         >: -44.95940000 =  52.00000000a +  41.00000000b +   1.00000000c (C)

       A-B:   0.91090000 =   7.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (D)
       B-C:  -0.34550000 =  -9.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (E)

       D-E:  -2.51280000 = -32.00000000a +   0.00000000b +   0.00000000c (F)

From (F    ), a =   0.07852500 (G)
From (D,G  ), b =  -0.18061250 (H)
From (A,G,H), c = -41.63758750 (I)

Answer 3

对于 3x3 线性方程组，我想推出自己的算法是可以的。

但是，您可能不得不担心准确性、除以零或非常小的数字以及如何处理无限多的解决方案。 我的建议是使用标准的数值线性代数包，例如LAPACK 。

Answer 4

看看Microsoft Solver Foundation 。

有了它，您可以编写如下代码：

  SolverContext context = SolverContext.GetContext();
  Model model = context.CreateModel();

  Decision a = new Decision(Domain.Real, "a");
  Decision b = new Decision(Domain.Real, "b");
  Decision c = new Decision(Domain.Real, "c");
  model.AddDecisions(a,b,c);
  model.AddConstraint("eqA", -44.3940 == 50*a + 37*b + c);
  model.AddConstraint("eqB", -45.3049 == 43*a + 39*b + c);
  model.AddConstraint("eqC", -44.9594 == 52*a + 41*b + c);
  Solution solution = context.Solve();
  string results = solution.GetReport().ToString();
  Console.WriteLine(results); 

这是输出：
===Solver Foundation 服务报告===
日期时间：04/20/2009 23:29:55
型号名称：默认
要求的能力：LP
求解时间（毫秒）：1027
总时间（毫秒）：1414
求解完成状态：最佳
选择求解器：Microsoft.SolverFoundation.Solvers.SimplexSolver
指令：
Microsoft.SolverFoundation.Services.Directive
算法：原始
算术：混合
定价（精确）：默认
定价（双）：最速边缘
基础：松弛
枢轴数：3
===解决方案详情===
目标：

决定：
a: 0.0785250000000004
b：-0.180612500000001
c: -41.6375875

Answer 5

NIST 的模板数值工具包有这样做的工具。

更可靠的方法之一是使用QR 分解。

这是一个包装器的例子，这样我就可以在我的代码中调用“GetInverse(A, InvA)”，它将逆向放入 InvA。

void GetInverse(const Array2D<double>& A, Array2D<double>& invA)
   {
   QR<double> qr(A);  
   invA = qr.solve(I); 
   }

Array2D 在库中定义。

Answer 6

您是否正在寻找可以完成工作或实际执行矩阵运算等并执行每个步骤的软件包？

第一个，我的一个同事刚刚使用了Ocaml GLPK 。 它只是GLPK的包装器，但它删除了许多设置步骤。 不过，看起来您将不得不坚持使用 C 语言中的 GLPK。 对于后者，感谢美味保存了我以前学习 LP 的旧文章PDF 。 如果您需要进一步设置的具体帮助，请告诉我们，我敢肯定，我或其他人会回来帮忙，但是，我认为从这里开始是相当直接的。 祝你好运！

Answer 7

在运行时效率方面，其他人的回答比我好。如果你总是有相同数量的方程作为变量，我喜欢Cramer 规则，因为它很容易实现。 只需编写一个函数来计算矩阵的行列式（或者使用已经写好的函数，我相信你可以在那里找到一个），然后将两个矩阵的行列式相除。

Answer 8

就个人而言，我偏爱Numerical Recipes的算法。 （我喜欢 C++ 版本。）

本书将教你为什么这些算法会起作用，还会向你展示这些算法的一些调试良好的实现。

当然，你可以盲目地使用CLAPACK （我已经成功地使用了它），但我会首先手动输入一个高斯消除算法，至少对制作这些算法的工作类型有一个模糊的概念稳定的。

以后，如果你在做更有趣的线性代数，查看Octave的源代码会回答很多问题。

Answer 9

从您的问题的措辞来看，您似乎拥有比未知数更多的方程，并且您希望尽量减少不一致。 这通常是通过线性回归完成的，它可以最小化不一致性的平方和。 根据数据的大小，您可以在电子表格或统计包中执行此操作。 R 是一个高质量的免费软件包，可以进行线性回归等许多其他功能。 线性回归有很多（和很多问题），但对于简单的情况来说很简单。 这是使用您的数据的 R 示例。 请注意，“tx”是您模型的截距。

> y <- c(-44.394, -45.3049, -44.9594)
> a <- c(50.0, 43.0, 52.0)
> b <- c(37.0, 39.0, 41.0)
> regression = lm(y ~ a + b)
> regression

Call:
lm(formula = y ~ a + b)

Coefficients:
(Intercept)            a            b  
  -41.63759      0.07852     -0.18061  

Answer 10

function x = LinSolve(A,y)
%
% Recursive Solution of Linear System Ax=y
% matlab equivalent: x = A\y 
% x = n x 1
% A = n x n
% y = n x 1
% Uses stack space extensively. Not efficient.
% C allows recursion, so convert it into C. 
% ----------------------------------------------
n=length(y);
x=zeros(n,1);
if(n>1)
    x(1:n-1,1) = LinSolve( A(1:n-1,1:n-1) - (A(1:n-1,n)*A(n,1:n-1))./A(n,n) , ...
                           y(1:n-1,1) - A(1:n-1,n).*(y(n,1)/A(n,n))); 
    x(n,1) = (y(n,1) - A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1))./A(n,n); 
else
    x = y(1,1) / A(1,1);
end

Answer 11

对于一般情况，您可以使用 python 和 numpy 进行高斯消元。 然后插入值并获取剩余值。