Mathematica中带有非线性ODE的初始条件

Question

我正在尝试使用Mathematica的NDSolve []使用耦合的ODE计算沿球体的测地线：

x" - (x" . x) x = 0

问题是我只能输入x（0）和x'（0）的初始条件，而求解器对x“ = 0的解感到满意。问题是我在球上的测地线具有x的初始条件“（0）= -x（0），我不知道该如何讲数学。 如果将其添加为条件，则表示我将True添加到条件列表中。

这是我的代码：

s1 = NDSolve[{x1''[t] - (x1[t] * x1''[t] + x2[t] * x2''[t] + x3[t]*x3''[t]) * x1[t] == 0, x2''[t] -  (x1[t] * x1''[t] + x2[t] * x2''[t] + x3[t]*x3''[t]) * x2[t] == 0, x3''[t] - (x1[t] * x1''[t] + x2[t] * x2''[t] + x3[t]*x3''[t]) * x3[t] == 0, x1[0] == 1, x2[0] == 0, x3[0] == 0, x1'[0] == 0, x2'[0] == 0, x3'[0] == 1} , { x1, x2, x3}, {t, -1, 1}][[1]]

我想对此进行修改，以使初始加速度不是零，而是-x(0) 。

谢谢

Answer 1

好吧，正如错误消息所说的那样-NDSolve仅接受严格小于ODE中出现的最大阶数的阶数导数的初始条件。
我觉得这更多是一个数学问题。 在数学上， {x''[0]=-x0, x[0]==x0}并没有定义唯一的解决方案-您必须按照{x0.x''[0]==-1, x[0]==x0, x'[0]-x0 x0.x'[0]==v0}可以解决（NDSolve仍然会失败，并出现相同的错误）。 您确实意识到您会在单位球上得到一个很大的圆圈，对吗？

顺便说一下，这就是我如何编写您的示例：

x[t_] = Table[Subscript[x, j][t], {j, 3}];
s1 = NDSolve[Flatten[Thread /@ #] &@{
       x''[t] - (x''[t].x[t]) x[t] == {0, 0, 0},
       x[0] == {1, 0, 0}, 
       x'[0] == {0, 0, 1}
     }, x[t], {t, -1, 1}]

Answer 2

我通过数学重排解决了此问题，而不是解决了我原来的问题：

令V（t）为沿x（t）的向量场。

X 。 V = 0表示d / dt（x .V）=（x'.V）+（x .V'）= 0

因此方程D / dt V = V'-（x。V'）x = V'+（x'。V）x成立这意味着测地线方程变为：x“ +（x'。x'）x = 0因此可以使用我最初拥有的初始条件来解决。

非常感谢Janus审阅并指出了我所遇到的各种问题，包括可怕的代码布局，我也从您的重写中学到了很多东西。