衡量游戏结果的公式/算法

Question

我有一个有趣的概念性问题，我想知道是否有人可以帮助我对其进行量化。 基本上，我在玩一系列游戏...并且对于每个游戏，我都知道我获胜的可能性，我并列的可能性以及我输掉的可能性（每个游戏都有不同的概率）。

从高层次上讲，我想知道的是：我应该专注于哪些游戏？ 例如，我不会为有0％获胜机会的游戏（或有100％获胜机会的游戏）付出任何努力。 但是对于50/50的游戏，我会非常在意，并希望付出最大的努力。 如果没有关系，那就很简单：“护理能力” =我赢得50％的机会有多近？ 但是有了联系，事情就变得复杂了。

我不确定这是否绝对必要，但是如果需要，您可以假设胜利是0分，平局将给您1分，胜利将给您2分。 换句话说，从失败变成平局与从赢得平局到胜利一样有价值。

您还可以假设所有游戏都是独立的。 基本上，我只是在寻找“可护理性”的定量指标（例如，从0到1的值）。

有人对如何处理这样的事情有任何想法吗？ 如果您是一名经济学家，您可以想象我有有限的美元可以花在提高赢得比赛的机会上。 您将如何在游戏中分配这些美元，以最大化您的预期成果？

提前致谢！

编辑：对不起，我此后意识到这是一个措辞很差的问题。 我没有说明额外投资与产生结果之间的关系。 我想假设这是线性关系，但是在那种情况下，您投资哪种游戏都没关系，因为它总是会以相同的方式增加您的期望值。 我的实际问题稍微复杂一些，我需要重新考虑一下。 感谢所有帮助并提出了好主意的人！

Answer 1

您可以将其公式化为约束优化问题。

我现在暂时忽略抽奖...

因此，您需要做的是首先让a_i为您在游戏i上花费的金额。

赢得游戏i的机会大概是a_i的函数..称其为p_i（a_i）

您对游戏i的预期支出为2 * p_i（a_i）

因此，您的总预期支出为P = 2 * Sum（p_i（a_i））

您对支出的金额有一些限制... sum（a_i）= A

您的目标是在约束条件下最大化P。

使用Lagrange方法，您可以为未知数a_i和lambda同时求解N + 1个方程。

N个等式：

 2 p_i'(a_i) = lambda  

还有一个约束方程

 sum(a_i) = total

如何解决这些问题将取决于p_i函数的结构。 根据您的结构或p_i函数，您可能需要引入每个a_i> 0的附加约束。我会尝试构建我的p_i以避免这种情况，因为这会使求解方程变得更加困难。

如果您想引入平局的机会，可以将p_i（a_i）分为w_i（a_i）和d_i（a_i），然后将每场比赛的支出更改为2 * w_i（a_i）+ 1 * d_i（a_i）。尽管这不会改变任何核心数学。

Answer 2

但是对于50/50的游戏，我会非常在意，并希望付出最大的努力。 如果没有关系，那就很简单：“护理能力” =我赢得50％的机会有多近？ 但是有了联系，事情就变得复杂了。

我不这么认为。 如果您正在寻找获胜机会为50/50的游戏，这不只是在计算“我的获胜几率加 50％的一半机会 ” –还是我误解了您的问题？

编辑：

公式如下所示：

x = 1 - abs(0.5-abs(win% + tie%/2));
                 ^ the inner 'abs' here may be useless, but i'm not sure ;)

Answer 3

我认为您需要考虑的最明显的事情是更改概率需要多少资源（精力，金钱或其他）？

以美元为例，如果您有一个游戏，目前有0％的机会获胜，但是$ 1会给您50％的获胜机会，那么这比$ 1会使您有50％的获胜机会更好99％的机会。

概括地说，我认为您需要为每场比赛的赢/平局/输局应用一个值（正如您已经提到的）。 然后，您可以算出当前的预期总值（例如50％赢，25％抽奖和25％损失将得到0.5 * 2 + 0.25 * 1 + 0.25 * 0 = 1.25个预期点）。 目的是然后使用您的所有资源来尽可能地提高总期望值。

最后一步完全取决于您的资源能否成功运行。 对此功能进行分析可能会使它很容易解决。

努力公式示例：

1）线性-一种资源单位将使您获胜和被平局的概率增加X。

这意味着只要您还没有限制失败的机会，就可以在哪里投入精力。 将精力投入可能会失败的任何游戏中。

2）反比-赢得/抽奖的机会越少，您的收益就越高

如果一个单位的努力会增加“ X /胜利几率”来赢得胜利，那么显然，增强自己最差的比赛将获得最大的利益。

3）中点趋势-您越接近均等的胜利/失败，您就越受益

这模拟了一个事实，即您很可能会获胜或很可能会输掉的游戏是最不可能改进的（如果某人比您好得多，那么努力可能并不重要）。 在这种情况下，您可能希望专注于那些具有几乎相等的获胜/失败机会的人，以尝试获得最大的增长。

我希望这是有道理的。 :)