在完整图的有序集合中查找顶点

Question

问题：对于给定的边Ei，对于完整图Kn的边E的有序集合，找到边的顶点（v，w）_Ei。

注意：尽管仅出于熟悉目的选择了它来表示问题，但这可能不是图论特有的问题。 对于引入的任何不正确的符号表示歉意。

假设从包含顶点1、2、3、4、5的完整图K5构造，我们有一个图边缘的有序集合E，总共有10条边。 已知集合E总是按以下顺序排序：

Ei =（0 <v <n，v <w = <n）

E1 = (1, 2)
E2 = (1, 3)
E3 = (1, 4)
E4 = (1, 5)
E5 = (2, 3)
E6 = (2, 4)
E7 = (2, 5)
E8 = (3, 4)
E9 = (3, 5)
E10 = (4, 5)

对于任何给定的Ei，我们现在必须单独使用i查找顶点（v，w）_Ei。 例如，给定6，我们应该获得（2，4）。

更新：表示此问题的另一种也许更简单的方法是：

n = 5
i = 0

for v = 1 to n - 1
    for w = v + 1 to n
        i++
        print "E" + i + " = " + v + ", " w 


print "E6 = " + findV(6) + ", " + findW(6)

怎么做？

Answer 1

要以封闭形式解决问题，我们需要前k数字之和的公式： 1 + 2 + ... + k = (k + 1) * k / 2 。 这为我们提供了从边(i, j)到边索引的映射：

from math import ceil, sqrt

def edge_to_index((i, j)):
    return n * (i - 1) + j - i * (i + 1) / 2

我们可以得出逆映射：

def index_to_edge(k, n):
    b = 1.0 - 2 * n
    i = int(ceil((-b - sqrt(b**2 - 8 * k)) / 2))
    j = k - n * (i - 1) + i * (i + 1) / 2
    return (i, j)

一个测试：

n = 5

print "Edge to index and index to edge:"
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(i + 1, n + 1):
        k = edge_to_index((i, j))
        print (i, j), "->", k, "->", index_to_edge(k, n)

输出：

Edge to index and index to edge:
(1, 2) -> 1 -> (1, 2)
(1, 3) -> 2 -> (1, 3)
(1, 4) -> 3 -> (1, 4)
(1, 5) -> 4 -> (1, 5)
(2, 3) -> 5 -> (2, 3)
(2, 4) -> 6 -> (2, 4)
(2, 5) -> 7 -> (2, 5)
(3, 4) -> 8 -> (3, 4)
(3, 5) -> 9 -> (3, 5)
(4, 5) -> 10 -> (4, 5)

Answer 2

让我重申一下我想您要提出的问题，以便让它完全脱离话题，您可以让我知道：

给定整数k和级数（1，2），（1，3），...，（1，k），（2，3），（2，4），...，（2，k） ，（3，4），...，（k-1，k）和索引n返回此系列第n个项的值。

这是解决此问题的简单算法，该算法可能不是渐近最优的。 请注意，对中的第一个（k-1）以1开头，下一个（k-2）以2开头，下一个（k-3）以3开头，依此类推。要确定对中的第一个元素的值对是，您可以继续将这些数字（k-1）+（k-2）+ ...累加起来，直到得到的值大于或等于索引。 您可以执行此操作的次数加上一个，即可得出您的第一个数字：

E1 = (1, 2)
E2 = (1, 3)
E3 = (1, 4)
E4 = (1, 5)
E5 = (2, 3)
E6 = (2, 4)
E7 = (2, 5)
E8 = (3, 4)
E9 = (3, 5)
E10 = (4, 5)

在这里，k =5。要找到第8个项，我们首先添加k-1 = 4，该数小于8。 然后，我们将k-2 = 3加到7，仍然小于8。 但是，加k-3 = 2会得到9，大于8，所以我们停止了。 我们将两个数字加在一起，因此第一个数字必须是3。

一旦我们知道第一个数字是什么，您就可以很容易地获得第二个数字。 在执行获取第一个数字的步骤时，我们实质上是在列出第一个数字发生变化的对的索引。 例如，在上述情况下，我们得到了系列0、4、7。将每个序列加1分别得到1、5、8，这实际上是分别以数字1、2和3开头的第一对。 。 知道第一个数字是什么之后，您还知道该数字对从哪里开始，因此您可以从该位置减去数字的索引。 这将使用零索引来告诉您从该元素前进了多少步骤。 此外，您知道第一个元素的第二个值是什么，因为它是第一个元素加上第一个元素，所以可以说第二个值是第一个数字加上一个加上索引加上的步数第一对以给定数字开头。 在我们的例子中，因为我们正在看索引8，所以我们知道第一对以3开头的对在位置8，我们得到第二对数字是3 +1 + 0 = 4，而对是（3，4） 。

该算法实际上非常快。 给定任何k，此算法最多需要k个步骤才能完成，因此以O（k）运行。 将此与扫描所有对象的天真的方法进行比较，后者需要O（k ² ）。

Answer 3

为了让我的生活更轻松，我将基于0而不是1进行数学。

首先，我们推导用于(v,v+1)的索引的公式（第一个以v开头）。 这只是n-1 + n-2 + ... + nv的算术和，即v(2n-v-1)/2 。

因此，要找到给定索引i v ，只需对最大积分v求解方程v(2n-v-1)/2 <= i 。 二元搜索会很好地工作，或者您可以使用二次公式求解二次并四舍五入（也许必须考虑一下最终是否可以工作）。

给定V，找到W很容易：

findW(i):
  v = findV(i)
  i_v = v(2n-v-1)/2
  return i - i_v + 1

Answer 4

好吧，简单的方法是遍历并减去与第一个顶点对应的值，如下所示（在python中）：

def unpackindex(i,n):
  for v in range(1,n):
    if v+i<=n: return (v,v+i)
    i-= n-v
  raise IndexError("bad index")

如果您要寻找封闭形式的公式，而不是算法，则需要在某个点进行平方根运算，因此它可能很杂乱且有些慢（尽管不如上述循环慢），足够大...）。 对于中等的n值，如果性能很重要，则可能需要考虑预先计算的查找表。