如何在任意四边形内刻出矩形或圆形

Question

这可能是一个更注重数学的问题，但由于在CS上下文中，所以想在这里提出。 我正在寻找在另一个（任意）四边形内刻一个矩形，该四边形具有最大可能的高度和宽度。 由于我认为算法会相似，因此我想看看是否也可以用一个圆来做。

更清楚地说，以边界四边形为例，我的意思是。

这是我要实现的刻刻最大化的两个示例：

我已经做了一些初步的搜索，但没有发现任何确定的信息。 似乎某种形式的动态编程可能是解决方案。 看来这应该是一个线性优化问题，应该比我发现的更为普遍，也许我正在寻找错误的术语。

注意：对于内接正方形，假设我们知道我们要寻找的目标w / h比率（例如4：3）。 对于四边形，假定边不会交叉并且将是凹面的（如果这样可以简化计算）。

Answer 1

1）圈。
对于三角形，这是学校课程中的标准数学问题 。
对于四边形，您会注意到最大内圆将接触其至少三个侧面。 因此，取三边的每种组合并解决每个三角形的问题。
平行边的情况必须分开考虑（因为它们不会形成三角形），但这并不是很难。

2）矩形。
您不能具有“最大高度和宽度” ，您需要选择其他条件。 例如，在您的图片上，我可以通过减小高度来增加宽度，反之亦然。

Answer 2

4岁的线程，但是在搜寻我的问题时偶然碰到了它。

我在当前的CV应用程序中遇到这样的问题。 我想出一个简单且笨拙的解决方案来找到最大的对象。 但是，不完全相同，是因为我在没有固定边长比的情况下最大化了矩形的面积。

我还不知道我的解决方案能否找到最佳选择，或者它是否适用于所有情况。 我也认为应该有一种更有效的方法，所以我期待您的输入。

首先，假设一组4个点构成我们的（凸）四边形：

    x   y
P1  -2  -5
P2  1   7
P3  4   5  
P4  3   -2

对于此过程，最左边的点是P1，随后的点按顺时针编号。 看起来像这样：

然后，我们在点之间创建线性函数。 对于每个函数，我们必须知道斜率k和距0：d的距离。 k只是两点的Y差除以X的差。d可以通过将线性函数求解为d来计算。 所以我们有

k=dy/dx
d=y1-k*x1

我们还将需要逆函数。

k_inv = 1/k
d_inv = -d/k

然后，我们为四边形的每一边创建函数和反函数

        k        d                        k         d
p1p2    4       3           p1p2_inv    0.25    -0.75
p2p3    -0.67   7.67        p2p3_inv    -1.5    11.5
p3p4    7       -23         p3p4_inv    0.14    3.29
p4p1    0.6     -3.8        p4p1_inv    1.67    6.33

如果我们拥有完全水平或垂直的线，则在其中一个函数或反函数中将以DIV / 0结尾，因此我们需要分别处理这种情况。

现在，我们遍历两个函数所包围的所有角，两个函数的ak的斜率具有不同的符号。 在我们的情况下，这将是P2和P3。

我们从P2开始，以适当的步长对P2与P1和P3中较高的一个之间的y值进行迭代，并使用反函数计算函数在水平方向上的距离。 这会给我们矩形的一侧

a=p2p3_inv(y)-p1p2_inv(y)

然后，在两个x值x = p2p3_inv（y）和x = p1p2_inv（y）上，我们计算两个相对函数的y差，并以到当前y位置的距离作为矩形第二边的候选值。

b_candidate_1 = y-p4p1(p2p3_inv(y))
b_candidate_2 = y-p4p1(p1p2_inv(y))
b_candidate_3 = y-P3p4(p2p3_inv(y))
b_candidate_4 = y-P3p4(p1p2_inv(y))

四个参数中较小的一个将是b面的解决方案。 该区域显然变为a * b。

我在excel中做了一个简单的例子来演示：

此处的最小值b为6.9，因此解的右上角在p2p3上，并且矩形分别在水平方向上延伸a和在垂直方向上分别向b和底部延伸b。

因此，矩形的四个点是

Rect    x       y
R1      0.65    -1.3
R2      0.65    5.6
R3      3.1     5.6
R4      3.1     -1.3

我将不得不将其放入C ++代码中，并将运行一些测试，以查看该解决方案是否具有普遍性，或者这仅仅是“运气”。

我认为也应该有可能用这些函数代替A = a * b中的a和b并将其放到一个线性公式中，该公式必须在p1p2仅在P1和P2等之间定义的条件下最大化。