大多数相互远离的k元素（聚类？）

Question

我有一个简单的机器学习问题：

我有n（~110）个元素，以及所有成对距离的矩阵。 我想选择最远的10个元素。 也就是说，我想

Maximize:
  Choose 10 different elements.
  Return min distance over (all pairings within the 10).

我的距离度量是对称的并且尊重三角不等式。

我可以使用什么样的算法？ 我的第一直觉是做以下事情：

1. 将n个元素聚类为20个聚类。
2. 将每个群集替换为距离原始n的平均元素最远的群集元素。
3. 使用蛮力来解决其余20名候选人的问题。 幸运的是，20选10只是184,756。

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编辑：感谢etarion的深刻见解，在优化问题陈述中将“返回总和（距离）”更改为“返回最小距离”。

Answer 1

以下是通过采用凸松弛来解决这种组合优化问题的方法。

设D为上三角矩阵，距离在上三角形上。 即，其中i <j，D_i，j是元素i和j之间的距离。 （据推测，你也会在对角线上有零。）

然后你的目标是最大化x'* D * x，其中x是二进制值，10个元素设置为1，其余为0.（将x中的第i个条目设置为1类似于选择第i个元素作为你的一个10个元素。）

与这样的组合问题有关的“标准”凸优化问题是放宽约束，使得x不需要是离散值。 这样做会给我们带来以下问题：

最大化y'* D * y受：0 <= y_i <= 1表示所有i，1'* y = 10

这是（道德上）一个二次方案。 （如果我们用D + D'代替D，它将成为一个真正的二次方案，你得到的y应该没有什么不同。）你可以使用一个现成的QP求解器，或者只是插入它您选择的凸优化求解器（例如cvx）。

你得到的y不一定是（也可能不是）一个二进制向量，但是你可以通过多种方式将标量值转换为离散值。 （最简单的可能是让y在y_i最高的10个条目中为1，但你可能需要做一些更复杂的事情。）无论如何，y'* D * y与你得到的y确实给出了你是x'* D * x的最佳值的上界，所以如果从y构造的x具有非常接近y'* D * y的x'* D * x，你可以对你的近似非常满意。

如果有任何不清楚，符号或其他原因，请告诉我。

Answer 2

好问题。

我不确定它是否能够以有效的方式完全解决，并且基于群集的解决方案似乎是合理的。 另一个方向是局部搜索方法，如模拟退火和爬山。

这是一个明显的基线我会比较任何其他解决方案：

1. 重复100次：
2. 贪婪地选择其移除减少目标函数的数据点，并将其删除。