构建计算机代数系统

Question

我正在用PHP创建一个CAS（计算机代数系统），但我现在卡住了。 我正在使用这个网站 。

现在我写了一个tokenizer。 它将转换如下的等式：

1+2x-3*(4-5*(3x))

对此：

NUMBER PLUS_OPERATOR NUMBER VAR[X] MINUS_OPERATOR NUMBER MULTIPLY_OPERATOR GROUP

（其中group是另一组令牌）。 我该如何简化这个等式？ 是的，我知道你能做什么：添加X-vars，但它们在子组中。 我可以用来处理这些令牌的最佳方法是什么？

Answer 1

一个非常有用的下一步是构造一个解析树：

你可以通过编写一个中缀解析器来创建其中一个。 您可以通过编写一个简单的递归下降解析器，或通过引入大枪并使用解析器生成器来完成此操作 。 在任何一种情况下，它都有助于构建一个正式的语法：

expression: additive

additive: multiplicative ([+-] multiplicative)*

multiplicative: primary ('*' primary)*

primary: variable
       | number
       | '(' expression ')'

请注意，此语法不处理2x语法，但应该很容易添加。

注意在语法规则中巧妙地使用递归。 primary仅捕获变量，数字和带括号的表达式，并在运行到运算符时停止。 multiplicative解析由*符号分隔的一个或多个primary表达式，但在它遇到+或-符号时停止。 additive解析一个或多个multiplicative由分隔符的表达式+和-但停止时它运行成) 。 因此，递归方案确定运算符优先级。

手动实现预测解析器并不是非常困难，正如我在下面所做的那样（ 请参阅ideone.com上的完整示例 ）：

function parse()
{
    global $tokens;
    reset($tokens);
    $ret = parseExpression();
    if (current($tokens) !== FALSE)
        die("Stray token at end of expression\n");
    return $ret;
}

function popToken()
{
    global $tokens;
    $ret = current($tokens);
    if ($ret !== FALSE)
        next($tokens);
    return $ret;
}

function parseExpression()
{
    return parseAdditive();
}

function parseAdditive()
{
    global $tokens;

    $expr = parseMultiplicative();

    for (;;) {
        $next = current($tokens);
        if ($next !== FALSE && $next->type == "operator" &&
            ($next->op == "+" || $next->op == "-"))
        {
            next($tokens);
            $left = $expr;
            $right = parseMultiplicative();
            $expr = mkOperatorExpr($next->op, $left, $right);
        } else {
            return $expr;
        }
    }
}

function parseMultiplicative()
{
    global $tokens;

    $expr = parsePrimary();

    for (;;) {
        $next = current($tokens);
        if ($next !== FALSE && $next->type == "operator" &&
            $next->op == "*")
        {
            next($tokens);
            $left = $expr;
            $right = parsePrimary();
            $expr = mkOperatorExpr($next->op, $left, $right);
        } else {
            return $expr;
        }
    }
}

function parsePrimary()
{
    $tok = popToken();
    if ($tok === FALSE)
        die("Unexpected end of token list\n");
    if ($tok->type == "variable")
        return mkVariableExpr($tok->name);
    if ($tok->type == "number")
        return mkNumberExpr($tok->value);
    if ($tok->type == "operator" && $tok->op == "(") {
        $ret = parseExpression();
        $tok = popToken();
        if ($tok->type == "operator" && $tok->op == ")")
            return $ret;
        else
            die("Missing end parenthesis\n");
    }

    die("Unexpected $tok->type token\n");
}

好的，现在你有了这个可爱的解析树，甚至还有漂亮的图片。 怎么办？ 您的目标（目前）可能只是简单地组合术语以获得表单的结果：

n1*a + n2*b + n3*c + n4*d + ...

我会把那部分留给你。 使用解析树应该使事情变得更加简单。

Answer 2

PHP擅长字符串，数字和数组。 但它实现符号公式操作是一种糟糕的语言，因为它没有处理“符号表达式”的原生机制，你真正想要树。 是的，你可以实现所有这些机器。 更难的是进行代数操作 。 如果你想要构建一些半复杂的东西，它需要做很多工作。 理想情况下，您希望机器能够帮助您直接轻松地编写变换。

例如，您将如何实现任意代数规则？ 相关性和交换性？ 术语“在远处匹配”？，例如

  (3*a+b)-2(a-b)+a ==> 3a-b

您可以查看如何使用我们的DMS程序转换系统 实现简单的CAS 。 DMS具有内置的交换性和关联性等硬数学结构，您可以明确地编写代数规则来操作符号公式。

Answer 3

“ 计算机代数与符号计算：数学方法 ”一书由Joel S. Cohen描述了一种自动简化代数表达式的算法。

该算法用于C＃的Symbolism计算机代数库。 继续你的例子，以下C＃程序：

var x = new Symbol("x");

(1 + 2 * x - 3 * (4 - 5 * (3 * x)))
    .AlgebraicExpand()
    .Disp();

在控制台显示以下内容：

-11 + 47 * x