大 -O 符号

Question

嘿，我有一个问题。 说t(n) = O(n log(n))并且你知道这是真的。

然后你给出这些陈述，并告诉你说它们是真的还是假的。 t(n) = n^4和t(n) = O(N^4)

陈述t(n) = n^4为假，而陈述t(n) = O(N^4)为真。 为什么？

Answer 1

您必须记住，当您编写t(n) = O(n log(n))和t(n) = O(N^4)时，它实际上意味着t(n)在O(...) ，而不是等于它（因为O(...)是一组函数，而 function 不能等于一组函数）。 但是，当您编写f(n) = n^4时，这意味着f(n)等于n^4 。

现在如果f(n)在O(n log n)中，它也在O(n^4)中，因为O(n^4)是O(n log n)的超集。 但是它不能等于n^4 ，因为n^4不在O(n log n)中。

Answer 2

Big O 表示法的想法是它代表时间的抽象 function，它专注于算法中最慢的部分，忽略影响执行时间（即 t(n)）但实际上并没有产生巨大差异的事物。

例如，如果您的 function 在一组大小为 n 的项目上工作，并且只是循环通过它们执行一些计算，那么您会说 t(n) = O(n)。 假设您根据某些标准仅对少数元素执行了一些操作，您仍然会说 t(n) = O(n) 但实际花费的时间 t(n) 不会直接是 n 的 function，因此 t (n) = nx 不成立。

Answer 3

看看这个中的第二个等式。 从这个等式中，t(n) = n^4 = O(n^4) 是显而易见的。

t(n) = O(n log n) 为假，因为∀M>0,x, ∃n>x, t(n) = n^4 > M(n log n)。 （如果 n > log n 并且 n>M，n^4 > M*n^3 = M(n * n^2) > M(n * log n) = M(n log n)，并且 n>log n当（大约）n>5）