基本算法证明

Question

我有一系列数字，例如： 170, 205, 225, 190, 260, 130, 225, 160我必须将它们分成具有固定数量元素的集合，以便最小化集合元素之间的最大差异 。

我保证如果我需要将元素拆分成K元素集，那么全局元素数等于Z * K

对于K = 4的示例，可以通过以下方式执行最佳拆分：

(1) : 130 160 170 190 （最大差异等于60）

(2) : 205 225 225 260 （最大差异等于55）

因此，此案例的全局最大差异等于60。

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现在，问题是：我的假设是我可以简单地对初始数据进行排序并从头开始将其拆分为偶数部分？ 如果这是正确的，我该如何证明呢？ 如果不是，我应该用哪种方法来解决这个问题？

Answer 1

假设您的数字总是可以精确地除以K（所以不是4组中的13个数字），这是正确的。

通过排序，您可以获得尽可能接近彼此最相似的数字。 问题是，如果移动数字以使具有更接近值的集合中的最差位值，是否会使最大差异变小？

答案是不。 排序时，数字左侧的唯一值相等或更低，向左移动的数字将被较低的值包围。 在导致最大差异的两个数字中，至少有一个会得到更差的伙伴，这意味着你的最大距离会变得更高。 它的工作方式与右边较高的数字相同。

Sorted:
[lowest, low, low, x] distance1 = x-lowest
[y, high, high, highest] distance2 = highest-y

Swapped:
[lowest, low, low, y] distance3 = y-lowest
[x, high, high, highest] distance4 = highest-x

因为x <y（让我们假设它们不相等，因为交换是没有意义的），distance3> distance1和distance4> distance2，意味着事情变得更糟。

如果您在那里放置更高的值，它的工作方式相同。

无论一个数字有多少，在那个位置加上另一个数字会让他们更加偏离。

另一个选择是将整个子集移动一个空格：

[lowest, low, low, y]
[high, high, highest, x]

但这实际上与交换相同。

这就是它如何使用2套。

有三套：

[lowest, low, low, x]
[lowM, lowM, highM, highM]
[highM, y, high, highest]

交换x和y与之前相同。 即使x非常相似或甚至等于左下角高（如果中间低点和高点实际上相等），y仍然高于x，使得差异更大，x更远离最高。

向前移动一堆数字：

[lowest, low, lowM, lowM]
[highM, highM, highM, y]
[x, highM, high, highest];

也许最大的区别是在highM和最高之间，现在距离已被删除。 但是因为你只能通过在那里放置一个更低的值来将它从最高点移开，所以你总是让它变得更糟。 最高距离high-highM现在是最高-x，x <highM。

它仍然可以反过来运作。 如果有下一组，则可以将更高的数字与更接近最高的数字交换，但这会使高数字的数字更高，从而导致更大的差异。

所以是的，对数据进行排序然后将它们分成相等的部分总是会给出最小的最大差异，因为更改排序的集合总是会产生更糟的结果。

注意：如果数字不能被K分割，它会变得更加复杂，你必须找出最差的设置并看看你是否可以将其最高或最低数字移动到下一个或上一个设置而不会使另一个设置变得更糟区别。 删除了只能将低数字与高数字交换的规则，因为您可以将它们与无数字交换，因此证明这一点是一个全新的水平。

Answer 2

如果对初始序列进行排序，则相邻的数字必须具有最小的差异。

此外，序列开头和结尾的元素必须具有最大的差异。

因此，包括最后一个元素和第一个元素的序列的任何“切割”都不能成为解决方案的一部分，因为它包含的不是最小元素的差异。

因此，必须通过将数字序列从开始分割为偶数部分来完成拆分。

在我看来，你的方法是正确的，但我想不出更正式的证据。

Answer 3

当然，您可以通过对数字对进行排序来获得最小的数字差异。 只需拆分已排序的数字，即可获得具有最小差异的集合。

在某些情况下，您可以在不增加每个集合的最大值的情况下在集合之间切换数字，因此可以有多种方法将数字划分为具有相同最大差异的集合。 但是，如果不增加其他组的最大值，则无法在组之间切换数字以减小任一组的最大值。

\n

例如，如果你有 1,3,4,5和 6,7,8,10的集合，那么你可以在不增加任何一组的最大差异的情况下切换 5和 6 。

如果你想要差异的最小平均值 ，那么你可以牺牲一组中的最大差异来减少另一组中的差异。