棒切割的变种

Question

您将获得一根长度为X的木棍，在任意位置（整体）上有m个标记，并且标记表示相应地进行切割的位置。 为了将L长度的棍子切成两块，木匠收取L美元（无论这两个长度是否相等都无关紧要，即斩波成本与斩波点的位置无关）。 设计动态编程算法，计算最小总成本。

无法弄清楚复发。 在最近的一次编程采访中被问到这一点。

Answer 1

对于m个标记，您有m + 2个有趣的点，0 =左端点，标记1，...，m，右端点=（m + 1）。
将有趣点0的距离存储到数组中的有趣点i以计算成本。
编辑:( Doh，无偿地引入了一个不必要的循环，再次看到Per的答案后注意到）
对于每个0 <= l < r <= m+1 ，让cost[l][r]是在点l和r之间完全切断片段的最低成本。 解决方案是cost[0][m+1] 。

// Setup
int pos[m+2];
pos[0] = 0; pos[m+1] = X;
for(i = 1; i <= m; ++i){
    pos[i] = position of i-th mark;
}
int cost[m+2][m+2] = {0};
for(l = 0; l < m; ++l){
    // for pieces with only one mark, there's no choice, cost is length
    cost[l][l+2] = pos[l+2]-pos[l];
}
// Now the dp
for(d = 3; d <= m+1; ++d){  // for increasing numbers of marks between left and right
    for(l = 0; l <= m+1-d; ++l){ // for all pieces needing d-1 cuts
        // what would it cost if we first chop at the left most mark?
        best_found = cost[l+1][l+d];
        for(i = l+2; i < l+d; ++i){ // for all choices of first cut, ssee if it's cheaper
            if (cost[l][i] + cost[i][l+d] < best_found){
                best_found = cost[l][i] + cost[i][l+d];
            }
        }
        // add cost of first chop
        cost[l][i][l+d] = (pos[l+d] - pos[l]) + best_found;
    }
}
return cost[0][m+1];

复杂性：如果你天真地检查所有可能的切割方法，那就是m！ 方法。 很坏。 考虑到在任何切割之后无论你是先完全切断左边部分，然后右边还是交错切割两部分，复杂度（对于m> = 2）减少到2*3^(m-2) 。 还是很糟糕。
对于我们的dp：

1. 最内层循环，循环i; d-1（l <i <l + d）
2. 在l：m + 2-d（0 <= 1 <= m + 1-d）上循环，得到（m + 2-d）*（d-1）
3. 最外层循环，3 <= d <= m + 1，大致为m ^ 3/6步。

好吧，O（m ^ 3）并不是每个人的梦想，但它是我能够很快拿出来的最好的东西（在Per的帖子中得到一些灵感后让我注意到之前的低效率）。

Answer 2

为每对（标记|端点）s计算切割杆段的最便宜的方法。 对于每个细分，最小化该细分中第一个剪切的选择。

Answer 3

我猜你想要木匠一次切割，然后继续切割，直到棍子全部切开，你要求切割的顺序？

在这种情况下，一种方法是通过可能组合树进行深度优先递归搜索，在此计算成本，记录第一个序列及其成本，从那时起，避免下降进入成本较高的树木，并始终记录您找到的任何更便宜的序列。