2-CNF SAT如何在P中，而3-CNF SAT在NPC中？

Question

我真的很困惑为什么2-CNF SAT在P中，而3-CNF SAT在NPC中。 我读了CLRS，我理解他们如何证明3-CNF SAT在NPC中。 我不能使用从SAT到2-CNF-SAT相同的可还原性来证明2-CNF-SAT在NPC中。 我不明白为什么2-CNF SAT在P.

Answer 1

为什么2-CNF SAT在P.

因为有一个多项式算法来解决它。

证明的草图：

请注意，2-CNF中的任何子句都采用A => B的形式，其中A和B是变量或它们的否定。 因此，我们可以告诉该条款说当A为真时，它强制B为真。 这也意味着B是虚假的力量A是假的。 我们以后必须考虑。

现在，您可以逐个获取变量，并搜索它是否过渡性地强制自身为负值（A => B => C => ... =>非A），反之亦然（非A =>。 .. => A）。 如果第一个是真的，A必须是假的; 如果第二个，A是真的。 如果两者兼而有之，公式是不可满足的。

如果您没有找到任何使公式不可满足的变量，那么它是可以满足的。

请注意，这种“野蛮”算法并不是使用图中强连接组件的实际算法，我建议您继续阅读。 然而，它是多项式的（搜索一个变量显然是O（N ^ 2），因为你考虑O（N）子句一次强制一个变量，你考虑O（N）变量，这意味着算法是多项式） 。 请注意，我们在子句中最多包含两个文字是至关重要的。 如果条款是A => B or C或其他东西，它将无法正常工作。

Answer 2

从CNF SAT到3-CNF SAT的规范缩减是采用类似lit_1或lit_2或......或lit_n的条款，并将其替换为两个子句lit_1或lit_2或......或者lit_ {floor（n / 2）}或者var，lit_ {floor（n / 2）+ 1} OR ... OR lit_n OR NOT var。 如果你试图以这种方式破解一个带有三个文字的子句，你将得到另一个带有三个文字的子句，因此相同的证明不适用于2-CNF SAT（并且可能是有充分理由的）。