如何删除Bezier曲线的节点，以便曲线的形状不会改变？

Question

我需要帮助写入算法删除节点Bezier曲线。 使用三次贝塞尔曲线，有两条曲线（P0，P1，P2，P3和Q0，Q1，Q2，Q3），它们有一个公共点（P3 = Q0）。 需要得到单曲线（P0，R1，R2，Q3），重复两个形状。 如何找到控制点R1，R2的坐标？

谢谢！

Answer 1

在一般情况下，你不可能做你所要求的。 你要求从7自由度下降到4，但保持相同的结果。 较低DOF系统的代表功率与较高DOF系统的代表功率不匹配。 唯一可能的是，如果更复杂的曲线仍然发生在更简单的空间中。 例如，如果您的两条贝塞尔曲线来自将单个父曲线细分为点R0, R1, R2, R3 。 使用de Casteljau算法，我们可以生成两条新的曲线P和Q ，它们位于相同的原始曲线上，并共享一条沿原始曲线t距离的点（其中t在[0,1] ）。

P0 = R0
P1 = R0*(1-t) + R1*t
X  = R1*(1-t) + R2*t
P2 = P1*(1-t) + X*t
Q3 = R3
Q2 = R2*(1-t) + R3*t
Q1 = X*(1-t) + Q2*t
Q0 = P3 = P2*(1-t) + Q1*t

如果这种关系不符合您的原始点，那么您将不得不进行近似。 但是你可能会假装关系成立并且只是反转方程式而逃脱：

R1 = (P1 - P0*(1-t))/t
R2 = (Q2 - Q3*t)/(1-t)

哪里

t = (Q0 - P2)/(Q1 - P2)

最后一个等式是问题，因为除非P2, Q0, Q1是共线的，否则它将无法正常工作。 t是标量，但Q1-P2通常是n维点。 因此，您可以针对每个维度单独求解并找到平均值，或者更复杂一些并最小化平方误差。