寻找路径组合的算法？

Question

想象一下，在原始P_0 = (0,0,...,0)处开始的n维欧几里德空间中有一个跳舞机器人。

机器人可以进行m种类型的舞蹈动作D_1, D_2, ..., D_m

D_i是整数的n向量(D_i_1, D_i_2, ..., D_i_n)

如果机器人使舞步i不是通过其位置的变化D_i ：

P_{t+1} = P_t + D_i

机器人可以按照自己的意愿和任何顺序进行任何多次的舞蹈动作。

让k-dance定义为k舞蹈动作的序列。

显然，还有m^k可能的k舞蹈。

我们有兴趣知道k-dance的可能终点位置的集合，并且对于每个终点位置，在该位置处有多少k-dances结束。

一种方法是这样做：

P0 = (0, 0, ..., 0);

S[0][P0] = 1

for I in 1 to k
    for J in 1 to m
        for P in S[I-1]
            S[I][P + D_J] += S[I][P]

现在S[k][Q]将告诉你在Q位置有多少k-舞蹈结束

假设n ， m ， |D_i| 小（小于5）， k小于40。

有更快的方法吗？ 我们可以用某种线性代数相关技巧以某种方式直接计算S[k][Q]吗？ 或其他一些方法？

Answer 1

您可以创建一个邻接矩阵，其中包含空间中的舞蹈移动过渡（它在k中可以到达的部分移动，否则它将是无限的）。 然后，该矩阵的第n个幂的P_0行包含S [k]值。

所讨论的矩阵很快变得巨大，类似于(k*(max(D_i_j)-min(D_i_j)))^n （如果Q接近原点，每个维度可以减半），但对于你的S矩阵也是如此

Answer 2

由于1维问题与子集和问题密切相关，你可能采取类似的方法 - 找到加在一起的舞蹈向量的所有组合，以具有恰好k个移动的正确的第一个坐标; 然后获取组合子集并检查其中哪一个具有第二个的正确总和，并获取与两者匹配的子集并检查第三个，依此类推。

通过这种方式，您至少只需要为非常痛苦的O（n ^ k）步骤执行非常简单的添加。 它确实会找到所有将达到给定值的向量。

Answer 3

由于舞蹈动作是可互换的，你可以假设对于i < j ，机器人首先在D_j移动之前进行所有D_i移动，从而减少实际计算的组合数量。

如果你跟踪每个舞蹈动作的次数，计算组合的总数应该很容易。