如何找到矩陣的最大特征向量？

Question

我試圖實現這一點沒有成功，我必須不使用外部模塊numpy等來執行此操作。應用程序中有3個模塊，我正在對此進行編碼，Python和C＃，C ++，但除標准庫外沒有其他精美的庫。

在一個單獨的應用程序上，我使用了numpy的svd，它的工作非常准確。 所以我用它來匹配我的結果。 我的方法是PCA，到目前為止一切都很好。 但是在計算對稱協方差矩陣之后，我不知道如何找到最大的特征向量。

數據集始終為3d點x，y和z。

vector center;
for(point p in points):
    center += p;
center /= points.count;

sumxx = 0;
sumxy = 0;
sumxz = 0;
sumyy = 0;
sumyz = 0;
sumzz = 0;
for(point p in points):
    vector s = p - center;
    sumxx += s.x * s.x;
    sumxy += s.x * s.y;
    sumxz += s.x * s.z;
    sumyy += s.y * s.y;
    sumyz += s.y * s.z;
    sumzz += s.z * s.z;

matrix3 mat = invert(matrix3(sumxx, sumxy, sumxz, sumxy, sumyy, sumyz, sumxz, sumyz, sumzz));
vector n;
if (determinant(mat) > 0)
    normal = find_largest_eigenvalue

Answer 1

讓我們回顧一下您的要求，以澄清：

1. 求矩陣mat的特征向量
2. 該特征向量應與矩陣的最大特征值相關聯
3. 該矩陣是主成分分析的對稱協方差矩陣。 特別地，它是對稱的。
4. 您的矩陣是3乘3的正方形，如代碼中matrix3 mat = ...所示，並在（現在已刪除）注釋中確認。

在這些非常特殊的情況下，適用以下答案。 但是，tmyklebu警告說，對於某些病理矩陣，此方法的數值不穩定，通常是在r接近-1 。

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好吧，讓我們從Wikipedia上有關特征多項式的頁面開始閱讀

在線性代數中，方陣的特征多項式是一個在矩陣相似性不變的情況下以特征值為根的多項式。

等等等等，讓我們直接跳到特征值算法頁面上的3x3矩陣部分 。

如果A是3×3矩陣，則其特征方程可表示為：

稍后（或多或少）此偽代碼跟隨幾行， 用於對稱矩陣 （如果我沒記錯的話，你說的是對稱矩陣） -否則可能會有復雜的特征值）：

p1 = A(1,2)^2 + A(1,3)^2 + A(2,3)^2
if (p1 == 0) 
   % A is diagonal.
   eig1 = A(1,1)
   eig2 = A(2,2)
   eig3 = A(3,3)
else
   q = (A(1,1) + A(2,2) + A(3,3)) / 3
   p2 = (A(1,1) - q)^2 + (A(2,2) - q)^2 + (A(3,3) - q)^2 + 2 * p1
   p = sqrt(p2 / 6)
   B = (1 / p) * (A - q * I)       % I is the identity matrix
   r = determinant(B) / 2

   % In exact arithmetic for a symmetric matrix  -1 <= r <= 1
   % but computation error can leave it slightly outside this range.
   if (r <= -1) 
      phi = pi / 3
   elseif (r >= 1)
      phi = 0
   else
      phi = acos(r) / 3
   end

   % the eigenvalues satisfy eig3 <= eig2 <= eig1
   eig1 = q + 2 * p * cos(phi)
   eig3 = q + 2 * p * cos(phi + (2*pi/3))
   eig2 = 3 * q - eig1 - eig3     % since trace(A) = eig1 + eig2 + eig3
end

因此，您希望在第一種情況下使用max(eig1,eig2,eig3) ，在第二種情況下使用eig1 。 讓我們將此e稱為最大特征值。

對於特征向量，您現在可以求解(Ae*I)x=0

Answer 2

查找特征值的算法不同。 有些工作從最小到最大，例如QR。 其他的則從大到小工作，例如冪迭代或Jacobi-Davidson。

也許您想要的是算法切換。 嘗試電源方法，看看是否有幫助。

https://scicomp.stackexchange.com/questions/1681/what-is-the-fast-way-to-calculate-the-largest-eigenvalue-of-a-general-matrix