特殊增強紅黑樹

Question

我正在尋找有關特定增強型紅黑二叉樹的幫助。 我的目標是讓每一個操作運行O(log(n))在最壞的情況下。 樹的節點將有一個整數作為鍵。 這個整數不能為負，和樹應通過簡單的比較功能關閉此整數進行排序。 此外，每個節點還將存儲另一個值：其功率。 （請注意，這有沒有關系的數學指數）。 電源是一個浮點值。 電源和密鑰總是非負的。 該樹必須能夠在O(log(n))運行時中提供以下操作：

1. 插入（鍵，電源開）：插入到樹。 在樹的節點也應存儲能力，以及所需的任何其他變量，以增加樹以這樣的方式，所有的其他操作也O(log(n)) 。 你可以假設存在已經有相同的密鑰樹沒有節點。

2. get（key）：返回該鍵標識的節點的電源。

3. 刪除（鍵）：刪除與關鍵節點（假設鍵時在刪除前的樹存在。

4. update（key，power）：更新key給定節點上的功率。

這里是它變得有趣：

5. highestPower（KEY1，KEY2）：返回所有節點的最大功率與關鍵k范圍KEY1 <= k <= KEY2。 也就是說，兩端都包含從key1到key2的所有鍵。

6. powerSum（KEY1，KEY2）：與主要返回所有節點的功率的總和k在ragne KEY1 <= k <= KEY2。 也就是說，兩端都包含從key1到key2的所有鍵。

我想知道的主要事情是我應該在每個節點上存儲哪些額外的變量。 然后，我需要弄清楚如何在上述每個函數中使用這些函數中的每一個，以使樹保持平衡，並且所有操作都可以在O(log(n))運行。我的最初想法是存儲以下內容：

1. highestPowerLeft：所有子節點到該節點的右側的最​​高功率。
2. mostPowerRight：此節點右邊所有子節點的最高功率。
3. powerSumLeft：所有子節點的這個節點左側的功率之和。
4. powerSumRight：所有子節點到該節點的權權力的總和。

也只是這個額外的信息工作？ 如果是這樣，我不確定如何在所需的函數中處理它。 坦白說，我對Red Black Tree的了解不是很好，因為我覺得對它們的所有解釋都很快被弄亂了，所有的旋轉和事物都使我感到困惑。 感謝願意在這里提供幫助的任何人，我知道我要問的遠非簡單。

Answer 1

一個非常有趣的問題！ 對於總和，您提出的方法應該可以工作（盡管只存儲當前節點左側的冪之和就足夠了；這種技術稱為prefix sum ）。 對於最大值，這是行不通的，因為如果兩個最大值相等，則該值超出了間隔，因此您不知道間隔中的最大值是多少。 我唯一的想法是使用分段樹 （其中的葉子是紅黑樹的節點），它可以讓您回答以下問題：“給定范圍內的最大值是多少？” 以對數時間顯示，還可以使您以對數時間更新單個值。 但是，由於需要在其中插入新值，因此也需要保持平衡。