在包含數據數組和python函數的積分上進行曲線擬合

Question

我有一個用未知常數的整數描述的數據集，我正在嘗試使用python的curve_fit確定該數據集。 但是，被積數包含一個與數據集相乘的函數

def integrand(tm, Pm, args):
    dt, alpha1, alpha2 = args
    return Pm*(1-np.e**( -(alpha1 * (tm+dt))) )*np.e**(-(alpha2 * (tm+dt)))

其中Pm是脈沖響應收集數據的一維數組，脈沖數據圖像和積分曲線

橙色曲線代表脈沖數據，藍色曲線代表積分應評估的值

tm是積分變量，而dt，alpha1，alpha2是未知常數，積分范圍為0到tm。

在這種積分上進行曲線擬合的最佳方法是什么，或者解決未知常數的其他方法可能是什么？

數據集在這里鏈接

Answer 1

從數據集的長度來看，似乎目的是要使integrand（t）適應output（t + dt）。 scipy優化模塊中有幾個功能可用於執行此操作。 對於一個簡單的示例，我們顯示使用scipy.optimize.leastsqr（）的實現。 有關更多詳細信息，請參見scipy優化中的教程。

基本方案是創建一個函數，該函數在獨立坐標上評估模型函數，並返回一個numpy數組，其中包含殘差，模型與各點觀測值之間的差異。 minimumsq（）找到一組參數的值，該參數可將殘差平方和最小化。

請注意，擬合可能對初始猜測敏感。 模擬退火通常用於查找可能的全局最小值，並在優化擬合之前提供擬合參數的粗略估計。 此處用於初始猜測的值僅用於概念目的。

from scipy.optimize import leastsq
import numpy as np

# Read the data files    
Pm = np.array( [ float(v) for v in open( "impulse_data.txt", "r" ).readlines() ] )
print type(Pm), Pm.shape

tm = np.array( [ float(v) for v in open( "Impulse_time_axis.txt", "r" ).readlines() ] )
print type(tm), tm.shape

output = np.array( [ float(v) for v in open( "Output_data.txt", "r" ).readlines() ] )
print type(output), output.shape

tout = np.array( [ float(v) for v in open( "Output_time_axis.txt", "r" ).readlines() ] )
print type(tout), tout.shape

# Define the function that calculates the residuals
def residuals(  coeffs, output, tm ):
    dt, alpha1, alpha2 = coeffs
    res = np.zeros( tm.shape )
    for n,t in enumerate(tm):
        # integrate to "t"
        value = sum( Pm[:n]*(1-np.e**( -(alpha1 * (tm[:n]+dt))) )*np.e**(-(alpha2 * (tm[:n]+dt))) )
        # retrieve output at t+dt
        n1 = (np.abs(tout - (t+dt) )).argmin()
        # construct the residual
        res[n] =  output[n1] - value
    return res

# Initial guess for the parameters
x0 = (10.,1.,1.)

# Run the least squares routine
coeffs, flag = leastsq( residuals, x0, args=(output,tm) )

# Report the results
print( coeffs )
print( flag )