隨機快速排序划分概率

Question

我正在閱讀有啟發性的算法：第1部分 ，問題5.2指出：

令ɑ是一個常數，與輸入數組長度n無關，嚴格在0和1/2之間。 使用隨機選擇的樞軸元素，Partition子例程會產生一個拆分，其中兩個結果子問題的大小至少是原始數組大小的1/3倍嗎？

答案選擇包括：

1. ɑ
2. 1-ɑ
3. 1-2ɑ
4. 2-2ɑ

我不確定如何回答這個問題。 有任何想法嗎？

Answer 1

令數組中有N元素。 如果選取的樞軸是數組中最小[Nα]元素之一，則左分區的大小將小於Nα 。 同樣，如果選取的樞軸是數組中最大的[Nα]元素之一，則右分區的大小將小於Nα 。

因此，您可以選擇N - 2 * [Nα]元素，以使兩個分區的大小都大於或等於Nα 。 由於該算法隨機選擇一個樞軸，因此所有元素的拾取概率均等。

因此，發生這種分裂的可能性為1 - 2α + O(1 / N) 。