[英]lambda calculus xor expression by true false
I am trying to understand xor in context on lambda calculus.我试图在 lambda 演算的上下文中理解异或。 I understand xor (Exclusive or) as boolean logic operation in https://en.wikipedia.org/wiki/Exclusive_or and the truth table of xor.
我将异或(异或)理解为https://en.wikipedia.org/wiki/Exclusive_or 中的布尔逻辑运算和异或的真值表。
But how why is it true as a xor b=(a)((b)(false)(true))(b) from http://safalra.com/lambda-calculus/boolean-logic/ it is indeed what what expect in lambda calculus.但是为什么它是来自http://safalra.com/lambda-calculus/boolean-logic/的 xor b=(a)((b)(false)(true))(b) 真的是什么?期望在 lambda 演算中。 When I saw true=λab.a false=λab.b I kinda have to see the true and false as a lambda calc true and false since it returns the first element in case of true.
当我看到 true=λab.a false=λab.b 时,我不得不将 true 和 false 视为 lambda calc true 和 false,因为它在为 true 的情况下返回第一个元素。 But is it correct to understand that the xor here is also a name but not the same as xor in boolean logic?
但是,理解这里的 xor 也是一个名称但与布尔逻辑中的 xor 不同是否正确?
Intuitively, we can think of A XOR B as直观地,我们可以将 A XOR B 视为
.... or in some pseudocode: .... 或者在一些伪代码中:
func xor (a,b)
if a then
return not b
else
return b
Let's get lambda calculusing让我们开始 lambda 演算
true := λa.λb.a
false := λa.λb.b
true a b
// a
false a b
// b
next we'll do not
接下来我们
not
not := λp.p false true
not true a b
// b
not false a b
// a
we can do if
next (note, that this is sort of silly since true
and false
already behave like if
)我们可以做
if
next (注意,这有点愚蠢,因为true
和false
已经表现得像if
)
if := λp.λa.λb.p a b
if true a b
// a
if false a b
// b
Ok, lastly write xor
好了,最后写
xor
xor := λa.λb.if a (not b) b
(xor true true) a b
// b
(xor true false) a b
// a
(xor false true) a b
// a
(xor false false) a b
// b
Remember if
is kind of dumb here, we can just remove it请记住,
if
这里有点愚蠢,我们可以将其删除
xor := λa.λb.a (not b) b
Now if we want to write it all with pure lambda, just replace the not
with its definition现在,如果我们想用纯 lambda 编写所有内容,只需将
not
替换为其定义
xor := λa.λb.a (not b) b
->β [ not := λp.p false true ]
xor := λa.λb.a ((λp.p false true) b) b
->β [ p := b ]
xor := λa.λb.a (b false true) b
At this point, you can see we have the definition from your question在这一点上,你可以看到我们有定义从你的问题
a xor b = (a)((b)(false)(true))(b)
a xor b = (a)((b)(false)(true))(b)
But of course that introduced additional free variables false
and true
– you can replace those with a couple additional beta reductions但是当然这引入了额外的自由变量
false
和true
- 你可以用几个额外的 beta 减少来替换它们
xor := λa.λb.a (b false true) b
->β [ false := (λa.λb.b) ]
xor := λa.λb.a (b (λa.λb.b) true) b
->β [ true := (λa.λb.a) ]
// pure lambda definition
xor := λa.λb.a (b (λa.λb.b) (λa.λb.a)) b
考虑a(b FT)b,中间表达式本质上是(not b),所以a(not b)b 仅在a 和b 不同时才为真。
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