试图找到4点贝塞尔曲线的长度

Question

我已经找到了大约1000个这个问题的答案，但我不能使用它们，因为我在曲线上使用了4个控制点。

那就是说，我在这里偶然发现了这个人：

double BezierArcLength(point2d p1, point2d p2, point2d p3, point2d p4)
{
    point2d k1, k2, k3, k4;

    k1 = -p1 + 3*(p2 - p3) + p4;
    k2 = 3*(p1 + p3) - 6*p2;
    k3 = 3*(p2 - p1);
    k4 = p1;

    q1 = 9.0*(sqr(k1.x) + sqr(k1.y));
    q2 = 12.0*(k1.x*k2.x + k1.y*k2.y);
    q3 = 3.0*(k1.x*k3.x + k1.y*k3.y) + 4.0*(sqr(k2.x) + sqr(k2.y));
    q4 = 4.0*(k2.x*k3.x + k2.y*k3.y);
    q5 = sqr(k3.x) + sqr(k3.y);

    double result = Simpson(balf, 0, 1, 1024, 0.001);
    return result;
}

它看起来像是一个完美的解决方案，但那个开始部分对我来说完全是混乱的：

k1 = -p1 + 3*(p2 - p3) + p4;
k2 = 3*(p1 + p3) - 6*p2;
k3 = 3*(p2 - p1);
k4 = p1;

我究竟应该对二维对象进行加，减，乘等操作（我认为point2d是一个像{x: 0, y: 0}这样的对象结构）？ 我觉得很愚蠢，但这是阻止我实际实现这种怪物的唯一因素。

FWIW，我正在使用这个等式来标准化实体在游戏中穿越曲线时的速度。 如果你知道一个更好的办法，我会全力以赴。

Answer 1

以下是如何以均匀的速度遍历立方贝塞尔曲线

没有一个简单的公式可以得到沿着三次贝塞尔曲线的均匀长度段（意味着甚至是弧长段）。 所涉及的是沿曲线计算许多点，然后使用插值将每个点“轻推”成大致等距。

没有你必须获得数学博士学位，我几乎可以帮你。

首先使用公式计算从t = 0到t = 1的曲线上的x / y点，其中t = 0表示曲线的起点，t = 1表示曲线的终点。 这是常见的公式：

// calc the x/y point at t interval
// t=0 at startPt, t=1 at endPt
var x=CubicN(t,startPt.x,controlPt1.x,controlPt2.x,endPt.x);
var y=CubicN(t,startPt.y,controlPt1.y,controlPt2.y,endPt.y);

// cubic helper formula at t interval
function CubicN(t, a,b,c,d) {
    var t2 = t * t;
    var t3 = t2 * t;
    return a + (-a * 3 + t * (3 * a - a * t)) * t
    + (3 * b + t * (-6 * b + b * 3 * t)) * t
    + (c * 3 - c * 3 * t) * t2
    + d * t3;
}

如果计算出足够的间隔，比如100个间隔（每个循环t + = .01），那么你将获得一个非常好的曲线近似值。

这意味着如果用线连接100个点，结果看起来非常像一个三次贝塞尔曲线。

但是你还没完成！

上面计算的一系列x / y点的弧距彼此不均匀。

一些邻近的点靠近在一起，一些相邻的点相距较远。

要计算均匀分布的点数：

1. 用线连接所有点（创建折线）。
2. 计算该折线的总距离（T）。
3. 将（T）除以所需的均匀段数，得到均匀段长度（SL）
4. 最后，从开始到结束走多边形线，计算与前一点（SL）距离的每个点。

结果：您可以使用这些等距点来遍历曲线。

附加细化：这将导致沿着Bezier路径的视觉上平滑移动。 但如果你想要更加平滑，只需计算超过100点 - 更多点==更平滑。

Answer 2

二维对象或Point2D只是一个Vector，而Vector Arithmetic在数学中是明确定义的。 例如：

          k*(x,y) = (k*x, k*y)
           -(x,y) = (-1)*(x,y)
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2, y1+y2)

这些是计算k1 ， k2 ， k3和k4所需的所有公式