使用Haskell编码“小于”

Question

我希望一些Haskell专家可以帮助澄清一些事情。

是否有可能以通常的方式定义Nat （通过Haskell中的 @dorchard Singleton类型 ）

data S n = Succ n 
data Z   = Zero

class Nat n 
instance Nat Z
instance Nat n => Nat (S n)

（或其一些变体）然后定义LessThan关系，使得forall n和m

LessThan Z (S Z)
LessThan n m => LessThan n     (S m)
LessThan n m => LessThan (S n) (S m)

然后编写一个类似的函数：

foo :: exists n. (LessThan n m) => Nat m -> Nat n
foo (S n) = n
foo Z     = foo Z

我明确地想在foo的输出类型中使用“LessThan”，我意识到人们肯定会写出类似的东西

foo :: Nat (S n) -> Nat n

但那不是我追求的。

谢谢！

兰吉特。

Answer 1

这是实现类似于您所询问的内容的一种方法。

纳特

首先请注意，您将Nat定义为类，然后将其用作类型。 我认为将它作为一种类型是有道理的，所以让我们这样定义它。

data Z
data S n

data Nat n where
  Zero :: Nat Z
  Succ :: Nat n -> Nat (S n)

少于

我们还可以将LessThan定义为一种类型。

data LessThan n m where
  LT1 :: LessThan Z (S Z)
  LT2 :: LessThan n m -> LessThan n (S m)
  LT3 :: LessThan n m -> LessThan (S n) (S m)

请注意，我只是将您的三个属性转换为数据构造函数。 这种类型的想法是类型LessThan nm的完全标准化值是n小于m的证明。

解决存在问题

现在你问：

foo :: exists n. (LessThan n m) => Nat m -> Nat n

但是Haskell中不存在。 相反，我们可以为foo定义一个数据类型：

data Foo m where
  Foo :: Nat n -> LessThan n m -> Foo m

请注意， n在这里有效地存在量化，因​​为它显示在数据构造函数Foo的参数中，但不在其结果中。 现在我们可以说出foo的类型：

foo :: Nat m -> Foo m

一个引理

在我们从问题中实现示例之前，我们必须证明LessThan一个小问题。 引理说n小于S n所有n 。 我们用归纳法证明它n 。

lemma :: Nat n -> LessThan n (S n)
lemma Zero = LT1
lemma (Succ n) = LT3 (lemma n)

执行foo

现在我们可以从问题中编写代码：

foo :: Nat m -> Foo m
foo (Succ n) = Foo n (lemma n)
foo Zero = foo Zero