添加无符号数字而不使用'+'或'++'

Question

我需要添加2个无符号数字'a'和'b'。

我使用位操作找到了以下代码

unsigned int add (unsigned int a,unsigned int b)
{
    unsigned int carry, sum;
    if (b == 0)
    {
        return a;
    }

    sum = a ^ b; // xor takes sum
    carry = a & b; // collect carry;
    carry = carry << 1;
    return ( add (sum, carry) );
}

我无法弄清楚这段代码是如何添加两个数字的。

任何帮助/指导的人。

Answer 1

逻辑 ：代码实现了一系列半加法器，并通过递归将进位从其中一个传递到下一个。 有关其工作原理的示例，请参阅“干运行”。

考虑这两个值a=0011和b=0101 。 在基数10中，它们分别是a=3和b=5 。

现在， a^b=0110 （ 1仅当单个位为1 ），而a&b=0001 （ 1仅当两个位为一，则单一的情况下可以有一个进位）。

然后，你需要将进位移动到下一位，这就是为什么你有<<1操作，使carry=0010 。

现在需要使用上述算法添加0110和0010 。 这将变成添加0100和0100 。 这将导致添加0000与1000 ，这将导致添加1000与0000 ，其将通过基本情况（ b == 0 ）结束。

以表格形式：

|   a  |   b  | a^b  |  a&b | carry|
------------------------------------
| 0011 | 0101 | 0110 | 0001 | 0010 |
| 0110 | 0010 | 0100 | 0010 | 0100 |
| 0100 | 0100 | 0000 | 0100 | 1000 |
| 0000 | 1000 | 1000 | 0000 | 0000 |
| 1000 | 0000 | ---- | ---- | ---- |

最后一行是基本情况。

Answer 2

记住这一点：

2003 Standard C ++ 5.3.1c7：

通过从2 ^ n减去其值来计算无符号数量的负数，其中n是提升的操作数中的位数。

a+b = a - (-b)将在符合2003标准（顺便提一下C ++ 11）的C ++编译器中工作。

当然，我会提出一个符合早期标准的答案（C ++ 99，例如-unsigned未定义）。

Answer 3

问题中的位操作代码使用两个基本原则： 半加法器和加法是可交换的这一事实。

单半加法器增加两位，没有进位。 如果输入中的一个输入为1，则单个位添加结果为1，如果输入相等则为0。 这由代码中的按位xor表示。

即使这样做，你也需要处理这些行为。 如果两个位都是1，则从位位置执行，否则为0。 这通过按位and后续shift的组合来表示，以将进位移动到需要添加的位位置。

对add的递归调用使用添加是可交换的事实来应用进位。 无论是随着初始添加逐位添加进位，还是在后续步骤中进行批量添加都无关紧要。

添加进位可能会导致新的结转。 这是通过继续递归调用来处理的，直到添加没有进位。

必须达到递归基本情况，零进位，因为加零，零进位，不能导致进位。 如果进位的最低有效k位在一次进位加法上全为零，则下一进位的至少k+1最低有效位必须为零。

Answer 4

要理解函数实际上为什么添加两个数字，有必要查看真值表以增加两位：

a = 0，b = 0 - > a + b = 00
a = 0，b = 1 - > a + b = 01
a = 1，b = 0 - > a + b = 01
a = 1，b = 1 - > a + b = 10

您会看到较低位是两个输入位的XOR，较高位是两个输入位的AND，因此最终结果由（a XOR b）OR（（a AND B）<< 1）表示。 由于此函数添加了32位数字，因此不能简单地对结果进行OR运算，因为在组合XOR和AND运算的结果时，一些额外的进位可以出现在高位数中，这就是为什么必须递归应用该函数的原因。

顺便说一句，这几乎就是在硬件中添加数字的方式。

Answer 5

这是硬件实现添加的方式。 在位上添加的结果是位的排除或（C ++中的^运算符）; 这就是你得到的sum 。 但这并未考虑来自较低位的任何进位。 进位输出是比特（的和&运营商），它给你的初始值carry 。 但是位n的进位是位n + 1的进位，所以我们向左移动，将位n移动到位n + 1，并将其加入。

我们使用递归来添加它，因为如果在添加进位之前的结果（在位级别）是1，并且进位是1，则还将有执行。

递归结束的时候有点微妙（当然，硬件版本不会递归，而是添加额外的逻辑）。 通过考虑原始值，最容易评估：

a   b   carry_in  sum carry_out

0   0       0      0      0
1   0       0      1      0
0   1       0      1      0
1   1       0      0      1
0   0       1      0      0
1   0       1      1      1
0   1       1      1      1
1   1       1      0      1

（“sum”列是a ^ b的结果，没有进位。）

在第一次递归调用时，b的第0位将为0（因为它表示低阶位的carry_in，并且没有一个 - 或者因为<< ，它将位n的进位输出移位到位的carry_in n + 1）。 当然，位0的carry_in将为0.因此，对于第一次递归调用中的位0，只能出现前两行。 这意味着不存在carry_out，并且对于下一次递归，只有前两行与位0和1相关。换句话说，每次递归都有效地从传播的进位中消除了一个位集，结果是传播了进位必须最终变为0.并且由于它作为参数b传播，参数b最终必须变为0。