渐近分析

Question

我无法理解如何将其变成公式。

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= N; j += i) {

我意识到会发生什么，对于每个i ++，你有1级乘法而不是j。

i = 1，你得到j = 1,2,3，...，100

i = 2，你得到j = 1,3,5，......，100

我不确定如何用Big-theta来思考这个问题。

总的j是N，N / 2，N / 3，N / 4 ...，N / N（我的结论）

怎么最好尝试将其视为N的函数？

Answer 1

所以你的问题实际上可以简化为“谐波系列1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1 / N的紧密限制是什么？” 答案是log N （您可以将其视为连续和而不是离散，并注意1/N的积分是log N ）

您的谐波系列是整个算法的公式（正如您已正确总结的那样）

所以，你的总和：

N + N/2 + N/3 + ... + N/N = N * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N) = Theta(N * log N)

因此算法的紧密界限是N*log N

请参阅[严格]数学证明这里 （参见“整体测试”和“背离率”部分）

Answer 2

那么，你可以有条不紊地使用Sigma表示法：