[英]Determine if two rectangles overlap each other?
我正在尝试编写一个 C++ 程序,它从用户那里获取以下输入来构造矩形(2 到 5 之间):高度、宽度、x-pos、y-pos。 所有这些矩形都将平行于 x 轴和 y 轴存在,也就是说,它们的所有边都将具有 0 或无穷大的斜率。
我试图实现这个问题中提到的内容,但我运气不佳。
我当前的实现执行以下操作:
// Gets all the vertices for Rectangle 1 and stores them in an array -> arrRect1
// point 1 x: arrRect1[0], point 1 y: arrRect1[1] and so on...
// Gets all the vertices for Rectangle 2 and stores them in an array -> arrRect2
// rotated edge of point a, rect 1
int rot_x, rot_y;
rot_x = -arrRect1[3];
rot_y = arrRect1[2];
// point on rotated edge
int pnt_x, pnt_y;
pnt_x = arrRect1[2];
pnt_y = arrRect1[3];
// test point, a from rect 2
int tst_x, tst_y;
tst_x = arrRect2[0];
tst_y = arrRect2[1];
int value;
value = (rot_x * (tst_x - pnt_x)) + (rot_y * (tst_y - pnt_y));
cout << "Value: " << value;
但是,我不太确定 (a) 我是否已经正确实现了链接到的算法,或者我是否确实如何解释它?
有什么建议?
if (RectA.Left < RectB.Right && RectA.Right > RectB.Left &&
RectA.Top > RectB.Bottom && RectA.Bottom < RectB.Top )
或者,使用笛卡尔坐标
(X1 是左坐标,X2 是右坐标,从左到右增加,Y1 是顶坐标,Y2 是底坐标,从底到顶增加——如果这不是你的坐标系[例如大多数计算机都有Y 方向反转],交换下面的比较)...
if (RectA.X1 < RectB.X2 && RectA.X2 > RectB.X1 &&
RectA.Y1 > RectB.Y2 && RectA.Y2 < RectB.Y1)
假设你有矩形 A 和矩形 B。证明是矛盾的。 四个条件中的任何一个都保证不存在重叠:
所以非重叠的条件是
NON-Overlap => Cond1 Or Cond2 Or Cond3 Or Cond4
因此,Overlap 的充分条件是相反的。
Overlap => NOT (Cond1 Or Cond2 Or Cond3 Or Cond4)
德摩根定律说
Not (A or B or C or D)
与Not A And Not B And Not C And Not D
所以使用德摩根,我们有
Not Cond1 And Not Cond2 And Not Cond3 And Not Cond4
这相当于:
RectA.Left < RectB.Right
],和RectA.Right > RectB.Left
],以及RectA.Top > RectB.Bottom
],以及RectA.Bottom < RectB.Top
] 注 1 :很明显,同样的原则可以扩展到任意数量的维度。
注意 2 :计算一个像素的重叠也应该是相当明显的,将该边界上的<
和/或>
更改为<=
或>=
。
注 3 :这个答案,当使用笛卡尔坐标 (X, Y) 时基于标准代数笛卡尔坐标(x 从左到右增加,Y 从下到上增加)。 显然,如果计算机系统可能会以不同的方式机械化屏幕坐标(例如,从上到下增加 Y,或从右到左增加 X),则需要相应地调整语法/
struct rect
{
int x;
int y;
int width;
int height;
};
bool valueInRange(int value, int min, int max)
{ return (value >= min) && (value <= max); }
bool rectOverlap(rect A, rect B)
{
bool xOverlap = valueInRange(A.x, B.x, B.x + B.width) ||
valueInRange(B.x, A.x, A.x + A.width);
bool yOverlap = valueInRange(A.y, B.y, B.y + B.height) ||
valueInRange(B.y, A.y, A.y + A.height);
return xOverlap && yOverlap;
}
struct Rect
{
Rect(int x1, int x2, int y1, int y2)
: x1(x1), x2(x2), y1(y1), y2(y2)
{
assert(x1 < x2);
assert(y1 < y2);
}
int x1, x2, y1, y2;
};
bool
overlap(const Rect &r1, const Rect &r2)
{
// The rectangles don't overlap if
// one rectangle's minimum in some dimension
// is greater than the other's maximum in
// that dimension.
bool noOverlap = r1.x1 > r2.x2 ||
r2.x1 > r1.x2 ||
r1.y1 > r2.y2 ||
r2.y1 > r1.y2;
return !noOverlap;
}
检查一个矩形是否完全在另一个矩形之外更容易,所以如果它是
在左边...
(r1.x + r1.width < r2.x)
或者在右边...
(r1.x > r2.x + r2.width)
或者在上面...
(r1.y + r1.height < r2.y)
或者在底部...
(r1.y > r2.y + r2.height)
的第二个矩形,它不可能与它碰撞。 因此,要获得一个返回布尔值的函数,表示矩形发生碰撞,我们只需通过逻辑 OR 组合条件并否定结果:
function checkOverlap(r1, r2) : Boolean
{
return !(r1.x + r1.width < r2.x || r1.y + r1.height < r2.y || r1.x > r2.x + r2.width || r1.y > r2.y + r2.height);
}
为了仅在触摸时已经收到肯定的结果,我们可以将“<”和“>”更改为“<=”和“>=”。
假设您已经定义了矩形的位置和大小,如下所示:
我的 C++ 实现是这样的:
class Vector2D
{
public:
Vector2D(int x, int y) : x(x), y(y) {}
~Vector2D(){}
int x, y;
};
bool DoRectanglesOverlap( const Vector2D & Pos1,
const Vector2D & Size1,
const Vector2D & Pos2,
const Vector2D & Size2)
{
if ((Pos1.x < Pos2.x + Size2.x) &&
(Pos1.y < Pos2.y + Size2.y) &&
(Pos2.x < Pos1.x + Size1.x) &&
(Pos2.y < Pos1.y + Size1.y))
{
return true;
}
return false;
}
根据上图给出的示例函数调用:
DoRectanglesOverlap(Vector2D(3, 7),
Vector2D(8, 5),
Vector2D(6, 4),
Vector2D(9, 4));
if
块内的比较如下所示:
if ((Pos1.x < Pos2.x + Size2.x) &&
(Pos1.y < Pos2.y + Size2.y) &&
(Pos2.x < Pos1.x + Size1.x) &&
(Pos2.y < Pos1.y + Size1.y))
↓
if (( 3 < 6 + 9 ) &&
( 7 < 4 + 4 ) &&
( 6 < 3 + 8 ) &&
( 4 < 7 + 5 ))
问自己相反的问题:如何确定两个矩形是否根本不相交? 显然,完全位于矩形 B 左侧的矩形 A 不相交。 同样,如果 A 完全向右。 同样,如果 A 完全高于 B 或完全低于 B。在任何其他情况下,A 和 B 相交。
下面的内容可能有错误,但我对算法非常有信心:
struct Rectangle { int x; int y; int width; int height; };
bool is_left_of(Rectangle const & a, Rectangle const & b) {
if (a.x + a.width <= b.x) return true;
return false;
}
bool is_right_of(Rectangle const & a, Rectangle const & b) {
return is_left_of(b, a);
}
bool not_intersect( Rectangle const & a, Rectangle const & b) {
if (is_left_of(a, b)) return true;
if (is_right_of(a, b)) return true;
// Do the same for top/bottom...
}
bool intersect(Rectangle const & a, Rectangle const & b) {
return !not_intersect(a, b);
}
如果两个矩形重叠,这是使用 C++ 检查的一种非常快速的方法:
return std::max(rectA.left, rectB.left) < std::min(rectA.right, rectB.right)
&& std::max(rectA.top, rectB.top) < std::min(rectA.bottom, rectB.bottom);
它的工作原理是计算相交矩形的左右边界,然后比较它们:如果右边界等于或小于左边界,则表示相交为空,因此矩形不重叠; 否则,它会再次尝试使用顶部和底部边框。
与传统的 4 次比较替代方法相比,这种方法有什么优势? 这是关于现代处理器的设计方式。 他们有一种叫做分支预测的东西,当比较的结果总是相同的时候它工作得很好,但否则会有巨大的性能损失。 但是,在没有分支指令的情况下,CPU 的表现相当不错。 通过计算交点的边界而不是对每个轴进行两次单独的检查,我们节省了两个分支,每对一个。
如果第一个比较很可能是错误的,那么四次比较方法可能会优于这个方法。 不过,这种情况非常罕见,因为这意味着第二个矩形通常位于第一个矩形的左侧,而不是右侧或与其重叠; 大多数情况下,您需要检查第一个矩形两侧的矩形,这通常会抵消分支预测的优势。
此方法可以进一步改进,具体取决于矩形的预期分布:
return std::max(rectA.top, rectB.top) < std::min(rectA.bottom, rectB.bottom)
&& std::max(rectA.left, rectB.left) < std::min(rectA.right, rectB.right);
return std::max(rectA.left, rectB.left) < std::min(rectA.right, rectB.right)
& std::max(rectA.top, rectB.top) < std::min(rectA.bottom, rectB.bottom);
(注意将&&
更改为单个&
)
下面是它在 Java API 中的实现方式:
public boolean intersects(Rectangle r) {
int tw = this.width;
int th = this.height;
int rw = r.width;
int rh = r.height;
if (rw <= 0 || rh <= 0 || tw <= 0 || th <= 0) {
return false;
}
int tx = this.x;
int ty = this.y;
int rx = r.x;
int ry = r.y;
rw += rx;
rh += ry;
tw += tx;
th += ty;
// overflow || intersect
return ((rw < rx || rw > tx) &&
(rh < ry || rh > ty) &&
(tw < tx || tw > rx) &&
(th < ty || th > ry));
}
在这个问题中,您链接到矩形处于任意旋转角度时的数学。 但是,如果我理解问题中关于角度的一点,我会解释所有矩形都相互垂直。
一般知道重叠面积公式是:
使用示例:
1 2 3 4 5 6 1 +---+---+ | | 2 + A +---+---+ | | B | 3 + + +---+---+ | | | | | 4 +---+---+---+---+ + | | 5 + C + | | 6 +---+---+
1)将所有x坐标(左右)收集到一个列表中,然后对其进行排序并删除重复项
1 3 4 5 6
2)将所有y坐标(顶部和底部)收集到一个列表中,然后对其进行排序并删除重复项
1 2 3 4 6
3) 通过唯一 x 坐标之间的间隙数 * 唯一 y 坐标之间的间隙数创建一个二维数组。
4 * 4
4) 将所有矩形绘制到这个网格中,增加它出现的每个单元格的计数:
1 3 4 5 6 1 +---+ | 1 | 0 0 0 2 +---+---+---+ | 1 | 1 | 1 | 0 3 +---+---+---+---+ | 1 | 1 | 2 | 1 | 4 +---+---+---+---+ 0 0 | 1 | 1 | 6 +---+---+
5) 在绘制矩形时,很容易截取重叠部分。
struct Rect
{
Rect(int x1, int x2, int y1, int y2)
: x1(x1), x2(x2), y1(y1), y2(y2)
{
assert(x1 < x2);
assert(y1 < y2);
}
int x1, x2, y1, y2;
};
//some area of the r1 overlaps r2
bool overlap(const Rect &r1, const Rect &r2)
{
return r1.x1 < r2.x2 && r2.x1 < r1.x2 &&
r1.y1 < r2.y2 && r2.x1 < r1.y2;
}
//either the rectangles overlap or the edges touch
bool touch(const Rect &r1, const Rect &r2)
{
return r1.x1 <= r2.x2 && r2.x1 <= r1.x2 &&
r1.y1 <= r2.y2 && r2.x1 <= r1.y2;
}
假设这两个矩形是矩形 A 和矩形 B。 设它们的中心为 A1 和 B1(A1 和 B1 的坐标很容易找到),设高度为 Ha 和 Hb,宽度为 Wa 和 Wb,设 dx 为A1 和 B1 之间的宽度(x)距离和 dy 是 A1 和 B1 之间的高度(y)距离。
现在我们可以说我们可以说 A 和 B 重叠:当
if(!(dx > Wa+Wb)||!(dy > Ha+Hb)) returns true
最简单的方法是
/**
* Check if two rectangles collide
* x_1, y_1, width_1, and height_1 define the boundaries of the first rectangle
* x_2, y_2, width_2, and height_2 define the boundaries of the second rectangle
*/
boolean rectangle_collision(float x_1, float y_1, float width_1, float height_1, float x_2, float y_2, float width_2, float height_2)
{
return !(x_1 > x_2+width_2 || x_1+width_1 < x_2 || y_1 > y_2+height_2 || y_1+height_1 < y_2);
}
首先要记住,在计算机中坐标系是颠倒的。 x 轴与数学中的相同,但 y 轴向下增加,向上减少。如果从中心绘制矩形。 如果 x1 坐标大于 x2 加上其宽度的一半。 那么这意味着走一半他们会互相接触。 并以同样的方式向下+一半高度。 会碰撞。。
不要将坐标视为指示像素所在的位置。 将它们视为在像素之间。 这样,2x2 矩形的面积应该是 4,而不是 9。
bool bOverlap = !((A.Left >= B.Right || B.Left >= A.Right)
&& (A.Bottom >= B.Top || B.Bottom >= A.Top));
我有一个非常简单的解决方案
让 x1,y1 x2,y2 ,l1,b1,l2,be 分别为它们的坐标和长度和宽度
考虑条件 ((x2
现在,这些矩形重叠的唯一方式是,x1,y1 的对角线点是否位于另一个矩形内,或者类似地,x2,y2 的对角线点将位于另一个矩形内。 这正是上述条件所暗示的。
A和B是两个矩形。 C 是它们的覆盖矩形。
four points of A be (xAleft,yAtop),(xAleft,yAbottom),(xAright,yAtop),(xAright,yAbottom)
four points of A be (xBleft,yBtop),(xBleft,yBbottom),(xBright,yBtop),(xBright,yBbottom)
A.width = abs(xAleft-xAright);
A.height = abs(yAleft-yAright);
B.width = abs(xBleft-xBright);
B.height = abs(yBleft-yBright);
C.width = max(xAleft,xAright,xBleft,xBright)-min(xAleft,xAright,xBleft,xBright);
C.height = max(yAtop,yAbottom,yBtop,yBbottom)-min(yAtop,yAbottom,yBtop,yBbottom);
A and B does not overlap if
(C.width >= A.width + B.width )
OR
(C.height >= A.height + B.height)
它会处理所有可能的情况。
如果矩形重叠,则重叠面积将大于零。 现在让我们找到重叠区域:
如果它们重叠,那么重叠矩形的左边缘将是max(r1.x1, r2.x1)
,右边缘将是min(r1.x2, r2.x2)
。 所以重叠的长度将是min(r1.x2, r2.x2) - max(r1.x1, r2.x1)
所以该区域将是:
area = (max(r1.x1, r2.x1) - min(r1.x2, r2.x2)) * (max(r1.y1, r2.y1) - min(r1.y2, r2.y2))
如果area = 0
则它们不重叠。
是不是很简单?
我已经实现了一个 C# 版本,它很容易转换为 C++。
public bool Intersects ( Rectangle rect )
{
float ulx = Math.Max ( x, rect.x );
float uly = Math.Max ( y, rect.y );
float lrx = Math.Min ( x + width, rect.x + rect.width );
float lry = Math.Min ( y + height, rect.y + rect.height );
return ulx <= lrx && uly <= lry;
}
这是来自 Java 编程简介 - 综合版一书的练习 3.28。 代码测试两个矩形是否为齿形,一个矩形是否在另一个矩形内,一个矩形是否在另一个矩形外部。 如果这些条件都不满足,则两者重叠。
**3.28(几何:两个矩形)编写一个程序,提示用户输入两个矩形的中心 x、y 坐标、宽度和高度,并确定第二个矩形是在第一个矩形内部还是与第一个矩形重叠,如图 3.9 所示。 测试您的程序以涵盖所有情况。 以下是示例运行:
输入 r1 的中心 x、y 坐标、宽度和高度:2.5 4 2.5 43 输入 r2 的中心 x、y 坐标、宽度和高度:1.5 5 0.5 3 r2 在 r1 内
输入 r1 的中心 x、y 坐标、宽度和高度:1 2 3 5.5 输入 r2 的中心 x、y 坐标、宽度和高度:3 4 4.5 5 r2 与 r1 重叠
输入r1的中心x、y坐标、宽度和高度:1 2 3 3 输入r2的中心x、y坐标、宽度和高度:40 45 3 2 r2不与r1重叠
import java.util.Scanner;
public class ProgrammingEx3_28 {
public static void main(String[] args) {
Scanner input = new Scanner(System.in);
System.out
.print("Enter r1's center x-, y-coordinates, width, and height:");
double x1 = input.nextDouble();
double y1 = input.nextDouble();
double w1 = input.nextDouble();
double h1 = input.nextDouble();
w1 = w1 / 2;
h1 = h1 / 2;
System.out
.print("Enter r2's center x-, y-coordinates, width, and height:");
double x2 = input.nextDouble();
double y2 = input.nextDouble();
double w2 = input.nextDouble();
double h2 = input.nextDouble();
w2 = w2 / 2;
h2 = h2 / 2;
// Calculating range of r1 and r2
double x1max = x1 + w1;
double y1max = y1 + h1;
double x1min = x1 - w1;
double y1min = y1 - h1;
double x2max = x2 + w2;
double y2max = y2 + h2;
double x2min = x2 - w2;
double y2min = y2 - h2;
if (x1max == x2max && x1min == x2min && y1max == y2max
&& y1min == y2min) {
// Check if the two are identicle
System.out.print("r1 and r2 are indentical");
} else if (x1max <= x2max && x1min >= x2min && y1max <= y2max
&& y1min >= y2min) {
// Check if r1 is in r2
System.out.print("r1 is inside r2");
} else if (x2max <= x1max && x2min >= x1min && y2max <= y1max
&& y2min >= y1min) {
// Check if r2 is in r1
System.out.print("r2 is inside r1");
} else if (x1max < x2min || x1min > x2max || y1max < y2min
|| y2min > y1max) {
// Check if the two overlap
System.out.print("r2 does not overlaps r1");
} else {
System.out.print("r2 overlaps r1");
}
}
}
bool Square::IsOverlappig(Square &other)
{
bool result1 = other.x >= x && other.y >= y && other.x <= (x + width) && other.y <= (y + height); // other's top left falls within this area
bool result2 = other.x >= x && other.y <= y && other.x <= (x + width) && (other.y + other.height) <= (y + height); // other's bottom left falls within this area
bool result3 = other.x <= x && other.y >= y && (other.x + other.width) <= (x + width) && other.y <= (y + height); // other's top right falls within this area
bool result4 = other.x <= x && other.y <= y && (other.x + other.width) >= x && (other.y + other.height) >= y; // other's bottom right falls within this area
return result1 | result2 | result3 | result4;
}
对于那些在矩形数据中使用中心点和半尺寸的人,而不是典型的 x,y,w,h 或 x0,y0,x1,x1,您可以这样做:
#include <cmath> // for fabsf(float)
struct Rectangle
{
float centerX, centerY, halfWidth, halfHeight;
};
bool isRectangleOverlapping(const Rectangle &a, const Rectangle &b)
{
return (fabsf(a.centerX - b.centerX) <= (a.halfWidth + b.halfWidth)) &&
(fabsf(a.centerY - b.centerY) <= (a.halfHeight + b.halfHeight));
}
struct point { int x, y; };
struct rect { point tl, br; }; // top left and bottom right points
// return true if rectangles overlap
bool overlap(const rect &a, const rect &b)
{
return a.tl.x <= b.br.x && a.br.x >= b.tl.x &&
a.tl.y >= b.br.y && a.br.y <= b.tl.y;
}
就这么简单……
bool Intersect = RectA.IntersectsWith(RectB);
“如果您对每个矩形的两个顶点对应的 x 或 y 坐标执行减法,如果结果相同,则两个矩形不重叠轴”(对不起,我不确定我的翻译是否正确)
资料来源: http : //www.ieev.org/2009/05/kiem-tra-hai-hinh-chu-nhat-chong-nhau.html
用于确定矩形是否相互接触或重叠的 Java 代码
...
for ( int i = 0; i < n; i++ ) {
for ( int j = 0; j < n; j++ ) {
if ( i != j ) {
Rectangle rectangle1 = rectangles.get(i);
Rectangle rectangle2 = rectangles.get(j);
int l1 = rectangle1.l; //left
int r1 = rectangle1.r; //right
int b1 = rectangle1.b; //bottom
int t1 = rectangle1.t; //top
int l2 = rectangle2.l;
int r2 = rectangle2.r;
int b2 = rectangle2.b;
int t2 = rectangle2.t;
boolean topOnBottom = t2 == b1;
boolean bottomOnTop = b2 == t1;
boolean topOrBottomContact = topOnBottom || bottomOnTop;
boolean rightOnLeft = r2 == l1;
boolean leftOnRight = l2 == r1;
boolean rightOrLeftContact = leftOnRight || rightOnLeft;
boolean leftPoll = l2 <= l1 && r2 >= l1;
boolean rightPoll = l2 <= r1 && r2 >= r1;
boolean leftRightInside = l2 >= l1 && r2 <= r1;
boolean leftRightPossiblePlaces = leftPoll || rightPoll || leftRightInside;
boolean bottomPoll = t2 >= b1 && b2 <= b1;
boolean topPoll = b2 <= b1 && t2 >= b1;
boolean topBottomInside = b2 >= b1 && t2 <= t1;
boolean topBottomPossiblePlaces = bottomPoll || topPoll || topBottomInside;
boolean topInBetween = t2 > b1 && t2 < t1;
boolean bottomInBetween = b2 > b1 && b2 < t1;
boolean topBottomInBetween = topInBetween || bottomInBetween;
boolean leftInBetween = l2 > l1 && l2 < r1;
boolean rightInBetween = r2 > l1 && r2 < r1;
boolean leftRightInBetween = leftInBetween || rightInBetween;
if ( (topOrBottomContact && leftRightPossiblePlaces) || (rightOrLeftContact && topBottomPossiblePlaces) ) {
path[i][j] = true;
}
}
}
}
...
如果我们从另一侧看问题(算法),则情况非常简单 。
这意味着我们将回答问题:“矩形不重叠吗?”,而不是回答“矩形是否重叠?”的问题。
最后,两个问题都解决了相同的问题,但是第二个问题的答案更易于实现,因为矩形仅在一个位于另一个下方或一个位于另一个左侧时才重叠(对于一个矩形就足够了)发生这些情况,但是当然可能会同时发生-在这里,对逻辑条件“或”的良好理解很重要)。 这减少了许多在第一个问题上需要考虑的情况。
使用适当的变量名也可以简化整个过程:
#include<bits/stdc++.h>
struct Rectangle
{
// Coordinates of the top left corner of the rectangle and width and height
float x, y, width, height;
};
bool areRectanglesOverlap(Rectangle rect1, Rectangle rect2)
{
// Declaration and initialization of local variables
// if x and y are the top left corner of the rectangle
float left1, top1, right1, bottom1, left2, top2, right2, bottom2;
left1 = rect1.x;
top1 = rect1.y;
right1 = rect1.x + rect1.width;
bottom1 = rect1.y - rect1.height;
left2 = rect2.x;
top2 = rect2.y;
right2 = rect2.x + rect2.width;
bottom2 = rect2.y - rect2.height;
// The main part of the algorithm
// The first rectangle is under the second or vice versa
if (top1 < bottom2 || top2 < bottom1)
{
return false;
}
// The first rectangle is to the left of the second or vice versa
if (right1 < left2 || right2 < left1)
{
return false;
}
// Rectangles overlap
return true;
}
即使我们有不同的矩形表示形式,也可以通过仅修改定义了变量更改的部分来使上面的函数适应于它。 函数的其他部分保持不变(当然,这里实际上并不需要注释,但我添加了注释,以便每个人都可以快速理解此简单算法)。
以上功能的等效 形式,但可读性较低,可能看起来像这样:
bool areRectanglesOverlap(Rectangle rect1, Rectangle rect2)
{
float left1, top1, right1, bottom1, left2, top2, right2, bottom2;
left1 = rect1.x;
top1 = rect1.y;
right1 = rect1.x + rect1.width;
bottom1 = rect1.y - rect1.height;
left2 = rect2.x;
top2 = rect2.y;
right2 = rect2.x + rect2.width;
bottom2 = rect2.y - rect2.height;
return !(top1 < bottom2 || top2 < bottom1 || right1 < left2 || right2 < left1);
}
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