最小化数组中相邻项的功能

Question

我有一个元素数组（ arr ）和一个函数（ f ），它需要2个元素并返回一个数字。

我需要阵列的排列，使得f(arr[i], arr[i+1])是尽可能少地为每个i在arr 。 （它应该循环，即，它也应该最小化f(arr[arr.length - 1], arr[0]) ）

而且， f工作原理类似于距离，所以f(a,b) == f(b,a)

如果效率太低，我就不需要最佳解决方案，但是它可以运行得很好并且很快，因为我需要实时计算它们（我不知道arr长度是多少，但是我认为可以30岁左右）

Answer 1

“使arr中的每个i的f（arr [i]，arr [i + 1]）尽可能小”是什么意思？ 您要最小化总和吗？ 您想最大程度地减少其中的最大数量吗？ 您是否要首先最小化f（arr [0]，arr [1]），然后在所有最小化f（arr [1]，arr [2]）的解决方案中选择一个，依此类推，等等。上？

如果您想使总和最小化，那么这完全是广义上的旅行商问题（好吧，“度量TSP”，如果您的f确实形成了度量）。 天真的解决方案有巧妙的优化，可以为您提供确切的优化，并在合理的时间内运行约n = 30； 您可以使用其中一种，也可以使用一种启发式的近似方法。

如果您想最小化最大值 ，这是一个更简单的问题，尽管仍然是NP难题：您可以对答案进行二进制搜索； 对于特定值d，绘制具有f（x，y）的线对的边

如果要按Lexiocographic最小化它，这很简单：选择距离最短的对并将其设置为arr [0]，arr [1]，然后选择最接近arr [1]的arr [2]，依此类推。

根据f（，）的来源，这可能比TSP容易得多。 提到这一点对您也很有用。

Answer 2

您不确定要优化的是什么-f（a [i]，a [i + 1]）值的总和，最大值（或其他值）？

无论如何，由于速度的限制，贪婪可能是最好的选择-选择一个使a [0]的元素（由于回绕而无关紧要），然后选择每个连续的元素a [i + 1]作为是最小化f（a [i]，a [i + 1]）的那个。

那将是O（n ^ 2），但要包含30个项目，除非这是一个内部循环或可以的事情。 如果您的f（）确实是关联的和可交换的，那么您也许可以在O（n log n）中做到这一点。 显然，归结为排序不会更快。

Answer 3

我不认为这种形式的问题定义明确：

让我们改为定义n fcns g_i：Perms-> Reals

g_i(p) = f(a^p[i], a^p[i+1]), and wrap around when i+1 > n

假设要在所有排列上最小化f实际上意味着您可以选择i的值，并在所有排列上最小化g_i ，但是对于任何将g_i最小化的p ，相关但不同的排列将g_j最小化（只需对排列进行共轭）。 因此，对每个i而言 ，说最小化排列的f毫无意义。

Answer 4

除非我们对f（x，y）的结构有更多了解，否则这是一个NP难题。 给定一个图G和任何顶点x，y，令f（x，y）在没有边的情况下为1，在有边的情况下为0。 问题要求的是顶点的排序，以便最大f（arr [i]，arr [i + 1]）值最小。 由于对于该函数，它只能是0或1，返回0等于在G中找到哈密顿路径，而1表示不存在这样的路径。

该函数必须具有某种不允许该示例易于处理的结构。