NP-Complete VS NP-Hard

Question

我试图理解NP-Complete和NP-Hard之间的区别。

以下是我的理解

NP-Hard问题是在多项式时间内无法解决的问题，但可以在多项式时间内验证。
NP-Complete问题是NP中的问题，也是NP-Hard问题。

以上定义是否正确？ 如果是这样，那么问题不是NP而是NP-Hard。 难道它们不会比NP完全问题更难，说它们只能在指数时间内得到解决和验证吗？

Answer 1

NP问题（不是NP-Hard问题）是一个可以在多项式时间内验证的决策问题 。 也许它们在多项式时间内是可解的，因为P中的所有问题也都在NP 。

NP-complete问题是一个决策问题 ，所有NP问题都可以在多项式时间内减少。 它们是NP级中最难的问题。

NP-hard类是至少与NP-complete问题一样难的问题。 它们不一定是决策问题。 鉴于我们不知道NP = P与否，我们很难说我们是否可以在多项式时间内验证NP-hard问题。

例如，最大集团的决策问题（给图表G一个整数K ，以判断是否存在具有至少K个顶点的完整图表）是NP问题。 它也是NP-complete和NP-hard 。 但是，最大团问题（在给定图中找到最大团）不是NP或NP-complete ，因为它不是决策问题。 我们可以说它是NP-hard ，因为它至少与最大集团问题的决策版本一样难。

Answer 2

NP-Hard是问题的下限。 不可能的问题也是NP-Hard。 NP-Complete意味着它是NP-Hard并且同时是NP-Solvable。

可以在多项式时间内验证的问题是NP中问题的定义之一。

Answer 3

你对NP-Hard的定义是不正确的，它看起来更像是复杂性类NP的（不是精确正确的）定义。

什么是复杂性类NP？

如果可以有效地验证，则计算问题p在复杂度类NP中。 在复杂性理论中，我们认为计算需要多项式时间才能有效。 所以正式p ∈ NP如果p是多项式时间验证 。

在你的定义中，你提到了概念多项式时间可解 ，它对应于复杂性类P.当且仅当P = NP 时， NP-Complete问题是多项式时间可解的 。 请注意，着名的P vs NP是计算机科学中最大的开放性问题之一，因此目前没有人知道P = NP还是P⊊NP，并且不能说NP问题不是多项式时间可解的（尽管它人们普遍认为是这样的。

什么是NP-Hard问题？

直观地说，NP-Hard问题是计算问题， 至少与 NP中的问题一样难 。 当我们说计算问题p至少与另一个问题q一样困难时，我们实际上反过来考虑它 - 如果我们能够在时间T中求解p ，那么我们也可以在时间上解决q 与 T 大致相同 （比如，不同）通过多项式因子）。

更确切地说，我们说p至少是很难，因为另一个问题q如果有一个多项式时间减少从q到p 。 粗略地说，多项式时间减少意味着给定一个求解p的算法A ，我们可以通过使用A作为黑盒来构造多项式时间算法B （即我们将A的时间复杂度视为O(1) ）来解决q 。

在NP-Hard问题的情况下，如果NP-Hard问题可以在多项式时间内求解，那么所有 NP问题都可以在多项式时间内求解（因此P = NP！）。 因此，人们普遍认为 NP难问题不是多项式时间可解的。

什么是NP完全问题？

正如您在问题中正确指出的那样，如果计算问题是NP-Hard 且 p ∈ NP ，则计算问题p是NP-Complete。

NP中没有的NP难问题？

如果存在不在NP中的NP-Hard问题（据我所知，在这个时刻没有证明这类问题属于这一类），这样的问题比NP-Complete问题更难 。

证明：假设我们的主张不正确。 设p是NP-Complete问题， 至少与 NP-Hard的另一个问题q 一样难，但在NP中则不然。 由于p至少与q一样硬，因此我们从q到p有多项式时间减少（比如它在时间P(n) ）。 由于p在NP中，因此可以通过一些算法A在时间T(n)中验证，其中T是多项式。

现在给出q任何实例r ，我们可以通过首先将其减少到p的实例s来构造算法B ，然后调用A来验证s 。 注意， B在时间T(P(n))验证q ，这是n的多项式，它遵循q在NP中，这给我们一个矛盾！

Answer 4

您的定义仅适用于NP-complete。

从底部开始：P是多项式时间内某些确定性图灵机可以解决的问题类。 NP是一类问题，可以通过一些非确定性图灵机在多项式时间内解决（或者其解可以通过确定性图灵机在多项式时间内验证）。

至于NP-hard，它意味着具有以下属性的决策问题X：给定一个解决问题的图灵机，可以将NP中问题的任何实例重构（图灵减少）到多项式时间的X实例。 非正式地，这意味着NP难问题是“至少和NP一样难”的问题，或者X的解决方案可以应用于NP中的每个问题。 请注意，问题不必在多项式时间内可验证，或者实际上可以验证。 NP-hard也包括不可判断和无法识别的问题。

我们不知道NP-hard是否包含可以在多项式时间内解决的问题（P？= NP问题）。 目前，还没有找到针对NP难问题的单一多项式时间解决方案，但也没有证明这种解决方案不存在。 如果找到某个NP难问题X的解决方案，则意味着P = NP，因为NP中任何问题的任何实例都可以在多项式时间内转换为X的实例（因为NP-hard的图灵减少属性）问题）然后通过X的多项式时间解在多项式时间内求解。

Answer 5

让我简单一点。

教授给他的学生一个问题，并要求他们提供一个有效的算法。

第二天，他的一些聪明的学生已经破解了算法来解决它。 它的复杂度为O（2 ⁿ ） 。 现在，所有人都很高兴他们有算法来获得解决方案。 一切都很好看。

教授对此表示赞赏，但他们说， “任务尚未结束” ，并挑战他们实际使用系统解决问题。

因此，他们立即尝试在系统中模拟它。 一名学生说，他的系统具有1 GIPS（每秒1000,000,000条指令）的极佳速度，并且可以在几分之一秒内解决问题。 因此，他们编写算法并尝试执行它。

然后他们从数据集的100个输入开始，然后运行它。 他们惊讶地发现程序运行并运行并运行并且不会停止。

然后另外一个学生做就可以了数学和揣摩的是，该系统将采取2 ^{十分之百 9}秒解决它。 大约2 ⁴⁰年左右。

第二天，当程序仍在运行时，教授说： “很好。亲爱的学生们，这就是我们所谓的NP-Hard 。系统可能会给出解决方案一天，但我担心我们不会在那里看到它“ 。

但是，同样的问题，一旦它产生一个解决方案，如果我们能够在实际时间内验证NP-Hard问题的解决方案，那么它就被称为NP-Complete 。 例如，子集的总和是NP-Hard问题。 但是，一旦我们得到子集解，我们就可以在多项式时间内轻松检查它。 所以它变成了NP-Complete。