如何将法线向量绘制为椭圆

Question

如何绘制出具有相同长度的线的椭圆？

用圆圈很容易，我可以写一些像

for (u = 0 ; u < 2*pi ; u += 0.001*pi) {
    drawdot (cos(u), sin(u)) ;
    drawline (cos(u), sin(u), 2*cos(u), 2*sin(u) ;
} 

但是，如果我像下面那样制作一个椭圆，则线条的长度是不同的。

for (u = 0 ; u < 2*pi ; u += 0.001*pi) {
    drawdot (2*cos(u), sin(u)) ;
    drawline (2*cos(u), sin(u), 4*cos(u), 2*sin(u) ;
}

我如何弄清楚它们的长度相同？

Answer 1

有几种思考方法。

您可以将椭圆视为已沿某个方向拉伸的圆。 在这种情况下，您已取圆x^2 + y^2 = 1并将转换应用于该曲线上的所有点：

x' = 2x
y' = y

您可以将其乘以矩阵：

[ 2  0 ]
[ 0  1 ]

要变换法线，您需要应用此矩阵的逆转置（即转置的逆或逆的转置；这是同一件事）：

[ 1/2  0 ]
[  0   1 ]

（顺便说一下，这被称为上一个变换的对偶。这是现代几何中非常重要的操作。）

点（x，y）处圆的法线方向（x，y）。 因此，椭圆在点（2x，y）的法线方向（0.5 * x，y）。 这表明：

for (u = 0 ; u < 2*pi ; u += 0.001*pi) {
    x = cos(u); y = sin(u);
    drawdot (2*x, y) ;
    drawline (2*x, y, 2*x + 0.5*x, y+y);
}

或者，如果您需要单位法线：

for (u = 0 ; u < 2*pi ; u += 0.001*pi) {
    x = cos(u); y = sin(u);
    drawdot (2*x, y) ;
    dx = 0.5*x;
    dy = y;
    invm = 1 / sqrt(dx*dx + dy*dy);
    drawline (2*x, y, 2*x + dx * invm, y + dy * invm);
}

考虑它的另一种方法是隐式轮廓。 如果通过函数定义曲线：

f(x,y) = 0

然后法向矢量指向方向：

(df/dx, df/dy)

其中导数是偏导数。 在您的情况下：

f(x,y) = (x/2)^2 + y^2 = 0

df/dx = x/2
df/dy = y

您将注意到，它与双重转换相同。