鉴于x，y，如何找到x！ 可以被y整除吗？

Question

计算x！ 可能非常昂贵，可能经常导致溢出。 有没有办法找出是否x！ 如果没有计算x，你可以被y整除！

• 对于y <x，它是微不足道的;
• 但是，对于y> x，例如x = 5且y = 60; 我正在努力寻找一种不用计算x的方法！

Answer 1

计算x!的素数因子分解 x! 和y 。 你不用计算x!就可以做到这一点x! 通过将每个数字从2分解为x并将所有因子收集在一起。 如果y的因子是x!的因子的子集x! 然后它是可分的。

Answer 2

如果x和y非常大，那么迭代遍历所有数字1到x是不可行的，你可以反过来分解y并计算每个素数因子，它的最大幂是否也除以x !.

我在另一个答案中写了更详细的算法。

基本上检查是这样的：

// computes maximum q so that p^q divides n!
bool max_power_of_p_in_fac(int p, int n) { 
    int mu = 0;
    while (n/p > 0) {
        mu += n/p;
        n /= p;
    }
    return mu;
}
// checks whether y divides x!
bool y_divides_x_fac(int y, int x) {
    for each prime factor p^q of y:
        if (max_power_of_p_in_fac(p, x) < q)
            return false;
    return true;
}

这导致用于复杂度O的情况x <y的算法（对y的因子化y + log x * #number的时间因素）。

显然y可以具有O（log y）素因子。 因此，对于Pollard的rho分解，这将类似于O（y ^（1/4）+ log x * log y）

使用这个定理可以证明正确性：

Answer 3

对于从1到x每个i ，更新y /= gcd(y, i) 。 最后的可分性检查是y == 1 。