matlab / octave - 广义矩阵乘法

Question

我想做一个函数来推广矩阵乘法。 基本上，它应该能够进行标准矩阵乘法，但它应该允许通过任何其他函数更改两个二元运算符product / sum。

目标是在CPU和内存方面尽可能高效。 当然，它总是比A * B效率低，但操作员的灵活性才是最重要的。

以下是我在阅读各种 有趣 线程后可以提出的一些命令：

A = randi(10, 2, 3);
B = randi(10, 3, 4);

% 1st method
C = sum(bsxfun(@mtimes, permute(A,[1 3 2]),permute(B,[3 2 1])), 3)
% Alternative: C = bsxfun(@(a,b) mtimes(a',b), A', permute(B, [1 3 2]))

% 2nd method
C = sum(bsxfun(@(a,b) a*b, permute(A,[1 3 2]),permute(B,[3 2 1])), 3)

% 3rd method (Octave-only)
C = sum(permute(A, [1 3 2]) .* permute(B, [3 2 1]), 3)

% 4th method (Octave-only): multiply nxm A with nx1xd B to create a nxmxd array
C = bsxfun(@(a, b) sum(times(a,b)), A', permute(B, [1 3 2]));
C = C2 = squeeze(C(1,:,:)); % sum and turn into mxd

方法1-3的问题在于它们将在使用sum（）折叠它们之前生成n个矩阵。 4更好，因为它在bsxfun中执行sum（），但是bsxfun仍然生成n个矩阵（除了它们大部分是空的，只包含一个非零值向量的总和，其余的用0填充以匹配尺寸要求）。

我想要的是像第四种方法，但没有无用的0来节省内存。

任何的想法？

Answer 1

以下是您发布的解决方案稍微更精致的版本，并进行了一些小的改进。

我们检查是否有更多的行而不是列，或者相反，然后通过选择将行与矩阵或矩阵与列相乘（从而进行最少量的循环迭代）来相应地进行乘法。

注意 ：即使行数少于列，这可能并不总是最好的策略（按行而不是列）; MATLAB数组以内存中的列主要顺序存储的事实使得按行分割更有效，因为元素是连续存储的。 访问行涉及通过步幅遍历元素（这不是缓存友好的 - 考虑空间局部性 ）。

除此之外，代码应该处理双/单，实/复，满/稀（以及不可能组合的错误）。 它还尊重空矩阵和零维度。

function C = my_mtimes(A, B, outFcn, inFcn)
    % default arguments
    if nargin < 4, inFcn = @times; end
    if nargin < 3, outFcn = @sum; end

    % check valid input
    assert(ismatrix(A) && ismatrix(B), 'Inputs must be 2D matrices.');
    assert(isequal(size(A,2),size(B,1)),'Inner matrix dimensions must agree.');
    assert(isa(inFcn,'function_handle') && isa(outFcn,'function_handle'), ...
        'Expecting function handles.')

    % preallocate output matrix
    M = size(A,1);
    N = size(B,2);
    if issparse(A)
        args = {'like',A};
    elseif issparse(B)
        args = {'like',B};
    else
        args = {superiorfloat(A,B)};
    end
    C = zeros(M,N, args{:});

    % compute matrix multiplication
    % http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication#Inner_product
    if M < N
        % concatenation of products of row vectors with matrices
        % A*B = [a_1*B ; a_2*B ; ... ; a_m*B]
        for m=1:M
            %C(m,:) = A(m,:) * B;
            %C(m,:) = sum(bsxfun(@times, A(m,:)', B), 1);
            C(m,:) = outFcn(bsxfun(inFcn, A(m,:)', B), 1);
        end
    else
        % concatenation of products of matrices with column vectors
        % A*B = [A*b_1 , A*b_2 , ... , A*b_n]
        for n=1:N
            %C(:,n) = A * B(:,n);
            %C(:,n) = sum(bsxfun(@times, A, B(:,n)'), 2);
            C(:,n) = outFcn(bsxfun(inFcn, A, B(:,n)'), 2);
        end
    end
end

对照

毫无疑问，该函数在整个过程中都会变慢，但对于较大的大小，它比内置矩阵乘法更糟糕的数量级：

        (tic/toc times in seconds)
      (tested in R2014a on Windows 8)

    size      mtimes       my_mtimes 
    ____    __________     _________
     400     0.0026398       0.20282
     600      0.012039       0.68471
     800      0.014571        1.6922
    1000      0.026645        3.5107
    2000       0.20204         28.76
    4000        1.5578        221.51

这是测试代码：

sz = [10:10:100 200:200:1000 2000 4000];
t = zeros(numel(sz),2);
for i=1:numel(sz)
    n = sz(i); disp(n)
    A = rand(n,n);
    B = rand(n,n);

    tic
    C = A*B;
    t(i,1) = toc;
    tic
    D = my_mtimes(A,B);
    t(i,2) = toc;

    assert(norm(C-D) < 1e-6)
    clear A B C D
end

semilogy(sz, t*1000, '.-')
legend({'mtimes','my_mtimes'}, 'Interpreter','none', 'Location','NorthWest')
xlabel('Size N'), ylabel('Time [msec]'), title('Matrix Multiplication')
axis tight

---

额外

为了完整性，下面是两种更简单的方法来实现广义矩阵乘法（如果要比较性能，请将my_mtimes函数的最后一部分替换为其中任何一个）。 我甚至不打算发布他们经过的时间:)

C = zeros(M,N, args{:});
for m=1:M
    for n=1:N
        %C(m,n) = A(m,:) * B(:,n);
        %C(m,n) = sum(bsxfun(@times, A(m,:)', B(:,n)));
        C(m,n) = outFcn(bsxfun(inFcn, A(m,:)', B(:,n)));
    end
end

另一种方式（使用三重循环）：

C = zeros(M,N, args{:});
P = size(A,2); % = size(B,1);
for m=1:M
    for n=1:N
        for p=1:P
            %C(m,n) = C(m,n) + A(m,p)*B(p,n);
            %C(m,n) = plus(C(m,n), times(A(m,p),B(p,n)));
            C(m,n) = outFcn([C(m,n) inFcn(A(m,p),B(p,n))]);
        end
    end
end

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接下来要尝试什么？

如果你想要提高性能，你将不得不转向C / C ++ MEX文件来减少解释的MATLAB代码的开销。 您仍然可以通过从MEX文件中调用它们来利用优化的BLAS / LAPACK例程（有关示例，请参阅本文的第二部分 ）。 MATLAB附带英特尔MKL库，坦率地说，当涉及到英特尔处理器上的线性代数计算时，你无法击败它。

其他人已经在文件交换中提到了一些实现通用矩阵例程作为MEX文件的提交（参见@natan的回答）。 如果将它们与优化的BLAS库链接，这些特别有效。

Answer 2

为什么不利用bsxfun接受任意函数的能力呢？

C = shiftdim(feval(f, (bsxfun(g, A.', permute(B,[1 3 2])))), 1);

这里

• f是外部函数 （corrresponding在矩阵乘法的情况下， 总结 ）。 它应该接受任意大小为m x n x p的3D数组，并沿其列操作以返回1 x m x p数组。
• g是内部函数 （对应于产品在矩阵乘法的情况下）。 根据bsxfun ，它应该接受相同大小的两个列向量，或者一个列向量和一个标量作为输入，并作为输出返回与输入相同大小的列向量。

这适用于Matlab。 我没有在Octave测试过。

---

示例1 ：矩阵乘法：

>> f = @sum;   %// outer function: sum
>> g = @times; %// inner function: product
>> A = [1 2 3; 4 5 6];
>> B = [10 11; -12 -13; 14 15];
>> C = shiftdim(feval(f, (bsxfun(g, A.', permute(B,[1 3 2])))), 1)
C =
    28    30
    64    69

校验：

>> A*B
ans =
    28    30
    64    69

---

例2 ：考虑上面两个矩阵

>> f = @(x,y) sum(abs(x));     %// outer function: sum of absolute values
>> g = @(x,y) max(x./y, y./x); %// inner function: "symmetric" ratio
>> C = shiftdim(feval(f, (bsxfun(g, A.', permute(B,[1 3 2])))), 1)
C =
   14.8333   16.1538
    5.2500    5.6346

检查：手动计算C(1,2) ：

>> sum(abs( max( (A(1,:))./(B(:,2)).', (B(:,2)).'./(A(1,:)) ) ))
ans =
   16.1538

Answer 3

没有深入细节，有一些工具，如mtimesx和MMX ，是快速通用矩阵和标量操作例程。 您可以查看他们的代码并根据您的需求进行调整。 它很可能比matlab的bsxfun更快。

Answer 4

在检查了像bsxfun这样的几个处理函数之后，似乎不可能使用这些函数进行直接矩阵乘法（我的意思是直接的是临时产品没有存储在内存中但是尽快求和，然后是其他总和产品处理），因为它们具有固定大小的输出（或者与输入相同，或者使用bsxfun单例扩展，两个输入的维度的笛卡尔积）。 然而，有可能稍微欺骗Octave（这对于检查输出维度的MatLab不起作用）：

C = bsxfun(@(a,b) sum(bsxfun(@times, a, B))', A', sparse(1, size(A,1)))
C = bsxfun(@(a,b) sum(bsxfun(@times, a, B))', A', zeros(1, size(A,1), 2))(:,:,2)

但是不要使用它们，因为输出值不可靠（Octave可能会破坏甚至删除它们并返回0！）。

所以现在我只是实现了一个半矢量化的版本，这是我的功能：

function C = genmtimes(A, B, outop, inop)
% C = genmtimes(A, B, inop, outop)
% Generalized matrix multiplication between A and B. By default, standard sum-of-products matrix multiplication is operated, but you can change the two operators (inop being the element-wise product and outop the sum).
% Speed note: about 100-200x slower than A*A' and about 3x slower when A is sparse, so use this function only if you want to use a different set of inop/outop than the standard matrix multiplication.

if ~exist('inop', 'var')
    inop = @times;
end

if ~exist('outop', 'var')
    outop = @sum;
end

[n, m] = size(A);
[m2, o] = size(B);

if m2 ~= m
    error('nonconformant arguments (op1 is %ix%i, op2 is %ix%i)\n', n, m, m2, o);
end


C = [];
if issparse(A) || issparse(B)
    C = sparse(o,n);
else
    C = zeros(o,n);
end

A = A';
for i=1:n
    C(:,i) = outop(bsxfun(inop, A(:,i), B))';
end
C = C';

end

使用稀疏矩阵和普通矩阵进行测试：稀疏矩阵（慢3倍）的性能差距远小于普通矩阵（约100倍慢）。

我认为这比bsxfun实现慢，但至少它不会溢出内存：

A = randi(10, 1000);
C = genmtimes(A, A');

如果有人有更好的提供，我仍然在寻找更好的选择！