如何在M包中分配N个数字以最小化某些目标功能？

Question

我有N（例如30个）整数V[i]和M（例如8个）包装，每个包装都有一个期望值P[j] 。

我想每个整数分配给一个组，下面的表达式计算的总和之间的差V[k]在组，其j和包的预期值j 。

diff[j] = abs(P[j] - sum(V[k] that in pack j))

目标是找到最小化sum(diff[j])的最佳解决方案。

我不知道这种问题的类型是什么。 可以通过线性编程解决此问题，还是NP完全问题？

Answer 1

无论这是否具有NP难度，您都可以使用易于访问的整数编程软件来有效解决所需实例的问题。 对于您的问题，您可以定义x_ {ij}来定义是否将X [i]分配给组j。 然后，您还将定义变量d_j，它们是公式中的diff [j]。 那么您的模型是：

min_{x, d} \sum_{j=1}^M d_j
s.t.       d_j >= P[j] - \sum_{i=1}^N X[i]x_{ij} \forall j
           d_j >= \sum_{i=1}^N X[i]x_{ij} - P[j] \forall j
           \sum_{j=1}^M x_ij = 1 \forall i
           x_{ij}\in \{0, 1\}

这是一个混合整数优化模型，例如，可以使用R中的lpsolve或lpSolveAPI包或MATLAB中的intlinprog函数来intlinprog 。

Answer 2

通过将另一个NP问题简化为NP，可以证明您的问题是NP。 换句话说，我将证明如果我可以回答这个问题，那么我可以立即回答另一个NP问题。

我要减少的特定问题是子集总和问题 ：

令V为数字集。 我们想知道sum(V)==0 。 令P={0} （仅包含0的长度为1的数组）。 在这种情况下，当且仅当子集总和为0问题的最佳解决方案为sum(diff[j])==0 0 。 换句话说，子集总和问题是您问题的特例，因此您的问题至少与子集总和问题一样困难。

因此，您的问题是NP。 我仍然不确定它是否是NP-Complete。

Answer 3

通过从2分区 （2P）还原，这是NP困难的。 将当前问题更改为询问sum（diff [j]）= 0的决策问题。 给定2P的实例，令P[0] = P[1] = sum(V)/2 。 如果存在两个分区，则显然存在一些sum(diff[j])=0赋值。

对于2分区，有一个psuedo-polytime算法，但是由于它不适用于> = 3分区，因此不太可能解决此问题。

似乎这类似于垃圾箱包装，但我不确定100％，因为您可能会溢出“垃圾箱”而不是“垃圾箱”。