以下代码的运行时间复杂度是多少？

Question

void foo(int n){
  int i = 1, sum = 1;
  while (sum <= n) {
    i++;
    sum+=i;
  }
}

我的感觉是，只有当总和大于参数n ，循环才会终止。 并且，第j次迭代的Sum为： S(j) = S(j-1) + j

S(1) = S(0) + 1
S(2) = S(1) + 2
S(3) = S(2) + 3
...
S(n) = S(n-1) + n

我应该怎么走？ 我被这种重复关系困扰。

当1 + 2 + 3 + ... + j次大于n时，循环将终止。 但是我不相信这是否可以。

Answer 1

证明这一点的经典方法是按两个顺序将序列写两次，即：

S(n) = 1 +   2 +       3    + ...+ n-2 + n-1 + n
S(n) = n + (n-1) + (n-2) + ...+ 3    +   2   + 1

如果您逐项总结这些术语，您将得到

2S(n)= n+1 + n+1 + n+1 + ... + n+1 

用n词

因此

S(n) = n*(n+1)/2

（据称是高斯发现的一个小学生的结果）

由此可见，它需要进行O（sqrt（n））次迭代。

Answer 2

您差不多完成了。 您需要注意的最后一件事是1 + 2 + 3 + ... + j是(1 + j) * j / 2或O(j^2) 。 这是数学（算术级数）中众所周知的公式。

Answer 3

它会在k次迭代后中断

1 + 2 + .... + k > n

k*(k+1)/2 > n

k*k + k - 2*n >0

k k = (-1 + sqrt(1+8n))/2 （舍弃负值）

因此，时间复杂度为sqrt(n) 。