关于大O符号和复杂性

Question

我目前正在学习Big O Notations，但是我根据不同的复杂性对时间/迭代计算感到困惑。

我解决了这个问题：

每次测试都需要10 ^（ - 7）秒的算法。 如果解决方案的数量是以下函数：logn，n，nlog。 n ^ 2，我可以计算的最大n是多少，例如，小于1秒？

我所关注的（对于案例登录）是10 ^ -7次登录必须花费不到1秒：

10^(-7) * logn < 1 <=> n = 10^(1/10^-7)

令人难以置信的大（如果没错，哦，该死的 - '）。 但是n ^ 2怎么样？

10^(-7) * n^2 < 1 <=> n = square_root(1/10^-7)

但是，如果复杂度更大，n ^ 2情况下的解决方案数量如何能够小于n中的数量？ 这让我很困惑......？

Answer 1

“这在很多层面都很糟糕。”

首先，O（f（n））与f（n）不同。

复杂性通常用于表示解决问题所需的时间 ，作为输入大小的函数。

当然，如果你可以使用X对Y在相同的时间内解决更多的问题，X将在固定的时间内解决比Y更多的问题。但是由于你没有以正确的方式使用术语复杂性，它是毫不奇怪，你得到一个（看似）矛盾的答案。

Answer 2

您只需将算法上限限制为10 ^（ - 7）秒的实际世界时间，这意味着您的算法将保证在10 ^（ - 7）秒内完成所有复杂性。

让我们不要讨论这是否可能实际存在。 但是，由于您刚刚定义了算法以通过10 ^（ - 7）中的所有可能解决方案 ，这意味着无论n是什么，它都将在那个时间内完成。 所以你的n是正无穷大。

此外，我认为你不应该使用大O来表示解决方案的数量 。

Answer 3

好消息首先，计算结果没有“错误”。

当然，如果算法的复杂性更高（如O（n ^ 2）复杂度高于O（log n）），那么在“可接受”时间内仍然能够处理的问题的大小将会更小，总计根据你的计算。

然而这个例子似乎有点扭曲，我不得不承认，我没有完全理解目的，你发明了10 ^ -7因子，因此怀疑，你没有得到O符号的概念。

基本上O符号的主要思想是，在比较两种算法时，你并不关心任何线性因素（比如你在计算中发明的10 ^ 7因子），而只关心计算时间随着大小的增长而增长的速度。问题是，由于问题的大小，与计算时间的增长相比，因为不变（因此不会增长）因素迟早会变得无关紧要。

以身作则：

使用O（n ^ 2）算法A，花费时间t = 2 * n ^ 2毫秒和O（log n）算法B，对于给定的问题大小，在特定机器上取t = 200 * log（n）毫秒事情看起来如下：

对于一个非常小的问题，比如n = 10，算法A可能比算法B更快：

2*10^2 = 2*100 = 200 ms
400*log10 = 400*1 = 400 ms

但随着问题规模越来越大，比如n = 100，算法B迟早会在速度上超过算法A：

2*100^2 = 2*10,000 = 20,000 ms
400*log100 = 400*2 = 800 ms

虽然对于更大的问题规模，比如n = 1,000,000，等待A完成可能需要很大的耐心。

2*1,000,000^2 = 2*10^12 ms = 2*10^9 s = 33333333 min = 555555 h = 23148 days = 63 years

算法B可能仍然在可接受的时间内运行。

400*log1,000,000 = 400*6 = 2,400 ms = 2.4 s

随着问题规模不断扩大，常数因素扮演着越来越小的角色，对于越来越大的问题，它变得越来越无关紧要，因此（与低阶条款一致，遵循相同的规则）在O符号中被遗漏。

因此，以O符号给出的复杂性的“正确”方式不是试图查看固定n的固定值，或者甚至重新发明常数因子和已经抽象出来的低阶附加项，而是看看计算时间有多快会随着问题而增长尺寸。

因此，再次以示例的方式来看待O（n ^ 2）和O（log10）的复杂性的“正确”方法是比较它们的增长。

如果问题大小增加10倍算法A的计算时间将增加100倍，因此需要100倍的时间，如下：

(n*10)^2 = n^2 * 10^2 = n^2 * 100

虽然算法B的计算时间只会增长一倍，但是：

log(n*10) = log(n) + log(10) = log(n) + 1