有没有办法确定在恒定时间（O（1））中有向无环图中是否存在路径？

Question

我有一些有向无环图。 我想查找O(1)两个顶点之间是否存在路径。

另外，我想在O(n^2)两个顶点之间添加和删除边。

我认为，我需要存储信息，两个节点之间存在多少条路径。 但是我没有提出完整的算法。

Answer 1

假设f(i, j)是从i到j顶点的路径数。 最初（我假设图形为空，如果不是这种情况，则可以使用加法运算来添加所有边） f(i, j) = 1如果i = j ，则f(i, j) = 1 ，否则为0 。

要将边从a添加到b ，可以使用以下过程：

for i = 1 .. n
    for j = 1 .. n
        new_f(i, j) = f(i, j) + f(i, a) * f(b, j) //add the number of paths that contain a new edge

其中n是顶点数。

删除边可以用类似的方法完成：

for i = 1 .. n
        for j = 1 .. n
            new_f(i, j) = f(i, j) - f(i, a) * f(b, j) //subtract the number of paths that contian this edge

删除/添加边缘显然需要O(n ^ 2)时间。 当且仅当f(a, b) != 0存在从a到b路径。

但是，这种解决方案存在一个问题：路径数量可能非常大（大于标准整数类型可以容纳的数量），并且使用任意精度算法会增加时间复杂度。 为避免出现此问题，您可以计算一些模数较大的质数（但足够小以适合标准整数类型） p模数。 该解决方案可能会产生错误的结果（路径数即使实际上不是零，也可以是0模p模数），但是失败的可能性很低。 为了减少更多，你可以计算f模几种不同的素数。

Answer 2

关于这一点的好地方是“算法，第四版”。 由Robert Sedgewick和Kevin Wayne撰写。 http://algs4.cs.princeton.edu/home/ 。 他们还在Coursera.org上提供学习课程“算法”。 它是免费的，那里有资料可以回答您的问题。 看一看。 https://www.coursera.org/course/algs4partI