用于将两个数字相加以得出一个值的算法

Question

我有一项家庭作业，要求我检查任意三个数字，a，b，c是否等于0 <= a，b，c <= 10 ^ 16，如果我可以通过将a和b加到每个来达到c其他。 诀窍是，每增加一个值，它们的值都会变化，因此，如果将a加到b，则将得到数字a和a + b，而不是a和b。 因此，我意识到这不是一个简单的线性方程。

为了使之成为可能，目标号码c必须能够以以下形式表示：

c = x a + y b

通过一些测试，我发现x和y的值不能相等，也不能都是偶数，以使我能够达到c数。 请记住这一点，以及一些涉及a，b或c等于零的特殊情况。

有任何想法吗？

编辑：这不是欧几里得的算法，它不是双色子方程，也许我用c = x a + y c的陈述误导了您。 即使他们应该满足此声明，但这对于手头的任务还是不够的。

以a ＝ 2，b ＝ 3，c ＝ 10为例。 为了达到c，您需要在第一步中将a添加到b或b中，然后在第二步中将得到：a = 2，b = 5或a = 5，b = 3 ，如果继续这样做，您将永远无法达到c。 Euclid的算法将提供yes的输出，但是很显然，通过将2和3彼此相加不能达到10。

Answer 1

注意：据我所知，要重述该问题：假设为您提供了非负整数a，b和c。 通过执行零次或多次运算a = a + b或b = b + a的序列，是否有可能达到a + b == c ？

好的，在进一步研究之后，我认为您可以对问题中的陈述做些小的改动：

为了使之成为可能，目标号码c必须能够以以下形式表示：

a + b c = a + b

其中GCD（ x ， y ）= 1。

（此外， x和y必须为非负数；我不确定它们是否可以为0。）

您最初的观察表明，新条件GCD（ x ， y ）= 1暗示x可能不等于y （除非它们都为1）并且x和y都不能为偶数。 因此这些观察是正确的，但不够充分。

如果在程序中使用它而不是已有的测试，则可能会使测试通过。 （我不保证任何事情。）对于更快的算法，您可以按照注释（和亨利的答案）中的建议使用扩展Euclid算法来找到一个x ₀和y ₀ ； b, y = y ₀ - a, for some n (which may be negative). 但是，如果GCD（ x ₀ ， y ₀ ）≠1，您将不得不尝试其他可能性x = x ₀ + b， y = y ₀ - a，对于某些n （可能为负）。

我没有严格的证明。 假设我们构造了所有对（ x ， y ）的集合S ，使得（1,1）在S中 ，并且如果（ x ， y ）在S中，则（ x ， x + y ）和（ x + y ， y ）在S中 。 显然，对于所有n > 1，（1， n ）和（ n ，1）都在S中。然后我们可以尝试找出对于m > n > 1的那对（ m ， n ）如何进入S ？ 如果m < n ，则仅当（ m ， n - m ）已经在S中时才可行。 如果m > n ，则只有（ m - n ， n ）已经在S中才有可能。 无论哪种方式，当您不断从较大的数值中减去较小的数值时，您得到的本质上就是Euclid算法，这意味着您将碰到一对（ g ， g ），其中g = GCD（ m ， n ）； 并且只有g = 1时，该对才在S中 。在我看来，上述方程中目标数量c的x和y可能值恰好是S中的值 。 不过，这部分基于直觉。 要使其更加严格，还需要做更多的工作。

Answer 2

import java.util.*;
import java.math.BigInteger;

public class Main
{
    private static boolean result(long a, long b, long c)
    {
        long M=c%(a+b);
        return (M%b == 0) || (M%a == 0);
    }
}

想法：c = xa + by，因为x或y更大，我们可以用以下两种形式之一写后一个方程：c = x（a + b）+（yx）b，c = y（a + b）+ （xy）a取决于谁更大，因此通过每次将c减小a + b，c最终变为：c =（yx）b或c =（xy）b，因此c％b或c％a的计算结果为0。

Answer 3

如果我们暂时忘记x和y应该为正，则方程c = xa + yb要么没有，要么有很多解。 当c不是gcd（a，b）的倍数时，没有解。

否则，调用gcd（a，b）= t使用扩展的欧几里得算法找到d和e，使得t = da + eb。 然后通过c = dc / ta + ec / t b给出一种解决方案。

显然0 = b / ta-a / tb，因此可以通过将等式的倍数f加到方程中来找到更多解：

c = (dc + fb)/t a + (ec - af)/t b

现在，当我们重新引入x和y必须为正或零的限制时，问题就变成了寻找使x =（dc + fb）/ t和y =（ec-af）/ t均为正或零的f值。

如果dc <0，请尝试使dc + fb> = 0的最小f，然后查看ec-af是否也> = 0。

否则，尝试使ec-af> = 0的最大f（负数），并检查dc + fb> = 0。