Eratosthenes筛用于大量C ++

Question

就像这个问题一样 ，我也在研究Eratosthenes的筛子。 同样从《使用c ++进行编程的原理和实践》一书的第4章中。我能够正确地实现它，并且它可以按照练习要求正确地起作用。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    unsigned int amount = 0;

    cin >> amount;

    vector<int>numbers;

    for (unsigned int i = 0; i <= amount; i++) {
        numbers.push_back(i);
    }

    for (unsigned int p = 2; p < amount; p++) {
        if (numbers[p] == 0)
            continue;

        cout << p << '\n';

        for (unsigned int i = p + p; i <= amount; i += p) {
            numbers[i] = false;
        }
    }

    return 0;
}

现在，我将如何处理输入amount中的实数？ unsigned int类型应允许我输入2 ^ 32 = 4,294,967,296的数字。 但是我不能，我用光了内存。 是的，我已经完成了数学运算：存储2 ^ 32数量的int，每个整数32位。 因此，32/8 * 2 ^ 32 = 16 GiB的内存。 我只有4个GiB ...

所以我在这里真正要做的是将非素数设置为零。 所以我可以使用布尔值。 但是，它们将占用8位，因此每个占用1个字节。 理论上，我可以将一些交换空间用于操作系统和开销，从而达到unsigned int （8/8 * 2 ^ 32 = 4 GiB）的极限。 但是我有一台x86_64 PC，那么大于2 ^ 32的数字呢？

知道素数在密码学中很重要 ，因此必须有一种更有效的方法吗？ 还有其他方法可以优化找到所有这些素数所需的时间吗？

Answer 1

在存储方面，您可以使用std::vector<bool>容器。 由于它的工作方式，您必须牺牲存储速度 。 因为此实现每个布尔值一位，所以存储效率提高了8倍。 如果您有足够的RAM用于该程序，则应该有可能获得接近8 * 4,294,967,296的数字。 您唯一需要做的就是使用unsigned long long释放64位数字的可用性。

注意 ：使用下面的代码示例测试该程序，输入的金额为80亿，导致该程序在运行时的内存使用量大约为80。 975 MiB，证明了理论值。

您还可以获得一些时间，因为您可以一次声明完整的向量，而无需迭代： vector<bool>numbers (amount, true); 创建一个大小等于输入量的向量，并将所有元素设置为true。 现在，您可以调整代码以将非素数设置为false而不是0。

此外，一旦遵循筛子直到数量的平方根，所有保持为真的数字都是质数。 在输出素数之后，插入if (p * p >= amount)作为其他继续条件。 同样，这对于您的处理时间来说是微不足道的改进。

编辑 ：在最后一个循环中，可以p求平方，因为直到p的平方为止的所有数字都已被先前的数字证明不是素数。

总之，您应该得到如下内容：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    unsigned long long amount = 0;

    cin >> amount;

    vector<bool>numbers (amount, true);

    for (unsigned long long p = 2; p < amount; p++) {
        if ( ! numbers[p])
            continue;

        cout << p << '\n';

        if (p * p >= amount)
            continue;

        for (unsigned long long i = p * p; i <= amount; i += p) {
            numbers[i] = false;
        }
    }

    return 0;
}

Answer 2

您问了几个不同的问题。

对于不超过2 ** 32的素数，筛分是适当的，但是您需要分段操作而不是在一个大博客中工作。 我在这里的答案告诉您如何执行此操作。

对于非常大的密码素数，过程是选择一个数字，然后使用诸如Miller-Rabin检验或Baillie-Wagstaff检验之类的概率检验来测试其素数。 这个过程并不完美，有时可能会选择复合词而不是素词，但是这种情况很少见。