计算图中路径的递归函数的复杂性

Question

我找到了一个有向图的函数，该函数针对其中的顶点“ u”和“ v”，计算从“ u”到“ v”的所有可能的走行，且走行上恰好有k条边。 代码和算法来自这里 。 所以，

// C++ program to count walks from u to v with exactly k edges
#include <iostream>
using namespace std;

// Number of vertices in the graph
#define V 4

// A naive recursive function to count walks from u to v with k edges
int countwalks(int graph[][V], int u, int v, int k)
{
   // Base cases
   if (k == 0 && u == v)      return 1;
   if (k == 1 && graph[u][v]) return 1;
   if (k <= 0)                return 0;

   // Initialize result
   int count = 0;

   // Go to all adjacents of u and recur
   for (int i = 0; i < V; i++)
       if (graph[u][i])  // Check if is adjacent of u
           count += countwalks(graph, i, v, k-1);

   return count;
}

我试图找到并证明该算法的复杂性。 根据帖子：

“上述函数的最差情况时间复杂度是O（V ^ k），其中V是给定图中顶点的数量。我们可以通过绘制递归树来简单地分析时间复杂度。最坏情况发生在完整图上。在最坏的情况是，递归树的每个内部节点将恰好有n个子节点。”

但是，我找不到找到可以分析的树的递归，以证明该算法为O(V^k) 。 另外，我认为最好的情况是Theta(1) 。 真的吗？ 一般情况如何？

Answer 1

对于完整的图形，每个节点都相互连接，因此for循环将使|V| 递归调用。 这将在每个递归调用中发生，直到k变为1，因此总共O(|V|^k)递归调用。

您可以这样表达：

T(V, k) = |V|*T(V, k - 1)
        = |V|*|V|*T(V, k - 2)
        = |V|^2*|V|*T(V, k - 3)
        = ...

它始终为T(V, _)因为可以多次访问一个节点。

最好的情况确实是O(1) ，如果在第一个调用期间触发条件，则前三个条件之一将被触发。

我不确定一般情况，但我认为仍然应该很糟糕。 考虑一个链表图和一个巨大的k ：为了使k变为0或1，您将多次移动相同的边。随着添加更多路径，这种情况会变得越来越糟。

Answer 2

通用“平均案例”分析在这样的问题中有点不适，因为您可以选择如何定义“随机”图。 一种方法是说，对于0 <= p <= 1，每个可能的边都以概率p出现，然后尝试根据p分析平均案例运行时间。 但是，还有其他方法可以定义随机图。 同样，平均案例分析通常很困难。 但是，如果您定义“平均”的含义（即，表示随机图的含义），则有人可能会对此表示怀疑。