多向（玫瑰）树的结构归纳

Question

由于可以将多路树定义为递归类型：

data RoseTree a = Node {leaf :: a, subTrees :: [RoseTree a]}

对这种类型的结构进行归纳有相应的原理吗？

Answer 1

要声明属性P对于所有（*）玫瑰树都成立，您必须证明

• 如果l :: [RoseTree]是元素满足P的玫瑰树的列表，并且x :: a是任意的，则Note xl满足P

关于P保持l的元素的部分是归纳假设，您可以用来证明P(Node xl) 。

这里没有显式的基本案例：这是因为没有显式的基本案例构造函数。 然而， Node x []充当了树的隐式基本案例，实际上，当l为空时，我们隐式获得了归纳的基本案例。 具体来说，当l为空时，“ l所有元素都满足P ”的假设变成空洞的，因此我们从上面的归纳原理中得到P(Node x []) 。

（*）更确切地说，此原理证明每棵有限深度的玫瑰树都为P 如果确实需要考虑无限深度的树（例如，圆形树），则需要进行共归。