排列函数的运行时间

Question

我的书为一个函数提供了以下代码，该函数计算一串独特字符的所有排列（见下面的代码），并说运行时间是O（n！），“因为有n！排列。”

我不明白他们如何计算运行时间为O（n！）。 我认为它们的意思是“n”是原始字符串的长度。 我认为运行时间应该是O（（n + 1）XY），因为getPerms函数将被调用（n + 1）次，而X和Y可以表示外部和内部for循环的运行时间分别。 有人可以向我解释为什么这是错的/本书的答案是对的吗？

谢谢。

public static ArrayList<String> getPerms(String str)
{
    if (str == null)
        return null;

    ArrayList<String> permutations = new ArrayList<String>();

    if (str.length() == 0)
        permutations.add("");
        return permutations;

    char first = str.charAt(0); //first character of string
    String remainder = str.substring(1); //remove first character

    ArrayList<String> words = getPerms(remainder);
    for (String word: words)
    {
        for (i = 0; i <= word.length(); i++)
        {
            String s = insertCharAt(word, first, i);
            permutations.add(s)
        }
    }

    return permutations;

}

public static String insertCharAt(String word, char c, int j)
{
    String start = word.substring(0, i);
    String end = word.substring(i); 
    return start + c + end;
}

资料来源：破解编码面试

Answer 1

从我们的直觉来看，很明显没有现有算法可以生成N个项目的排列，这些项目的性能优于O（n！），因为有n个！ 可能性。

您可以将递归代码缩减为递归方程，因为gePerm(n)其中n是n长度的字符串将调用getPerm(n-1) 。 然后，我们使用它的所有值返回并放置一个循环N次的内部循环。 所以我们有

P _n = nP _n-1
P ₁ = 1

很容易看出P _n = n！ 通过伸缩方程。

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如果你很难想象我们如何提出这个等式，你也可以这样思考

ArrayList<String> words = getPerms(remainder);
for (String word: words)                          // P(n-1)
{
    for (i = 0; i <= word.length(); i++)          // nP(n-1)
    {
        String s = insertCharAt(word, first, i);
        permutations.add(s)
    }
}

Answer 2

N元素的排列计数是N * (N - 1) * (N - 2) * ... * 2 * 1 ，即N! 。

第一个字符可以是N字符中的任何一个。 下一个字符可以是剩余的N - 1字符之一。 现在我们已经有了N * (N - 1)可能的案例。

所以，继续我们将在每一步都有N * (N - 1) * (N - 2) * ...个案。

导致N元素的排列计数为N! ，那么没有一个实现可以比N！更快地排列长度为N的数组。