想知道有多少种方法可以在硬币兑换中求和？

Question

给定一个值 N，如果我们想找零 N 美分，并且我们有无限供应的每个 S = { S1, S2, .. , Sm} 价值的硬币，我们有多少种找零的方法？ 硬币的顺序无关紧要。

例如，对于 N = 4 和 S = {1,2,3}，有四种解决方案：{1,1,1,1},{1,1,2},{2,2},{1, 3}。 所以output应该是4。对于N = 10和S = {2, 5, 3, 6}，有五种解决方案：{2,2,2,2,2}，{2,2,3,3}， {2,2,6}、{2,3,5} 和 {5,5}。 所以 output 应该是 5。

现在，我有一个疑问。 为什么我们不能做类似的事情，

arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2] + arr[i-3]

这基本上是arr[i]存储总和i的方法数。 我在这里给出的方法有点类似于n stairs problem ，即我可以爬固定数量的阶梯，也就是说，一次爬 1 个阶梯或一次 2 个阶梯，我必须计算总数从底部到达顶部的方法。 为什么我们不能在这个问题上使用类似的方法？

Answer 1

为什么我们不能在这个问题中使用类似的方法？

它不起作用，因为在n阶梯问题中，顺序很重要。 例如，如果你爬5级楼梯，{1,2,1,1}被计为与{1,1,2,1}不同。

然而，在制作更改问题中，只有每个硬币的总计数，而不是你添加它们的顺序，所以如果你赚5美元，{$ 1，$ 2，$ 1，$ 1}与{$ 1，$ 1，$ 2，$ 1相同}。 因此，简单的记忆方法不起作用，您需要存储所有可能的方法来达到arr [i]，而不仅仅是总数。

例如，假设你试图用$ 1和$ 2赚6美元。 你不能只是为赚5美元的方式增加赚4美元的方式，因为（例如）制作4美元的方法之一是{$ 1，$ 1，$ 2}（你可以加2美元到赚$ 6即{$ 1，$ 1，$ 2，$ 2}），其中一种赚5美元的方式是{$ 1，$ 2，$ 2}（你可以加1美元赚6美元{$ 1，$ 2，$ 2，$ 1}） 。

但是，{$ 1，$ 2，$ 2，$ 1}和{$ 1，$ 1，$ 2，$ 2}不应单独计算。

Answer 2

Samgak的回答解释了如何使改变与攀爬楼梯一步一步或两步不同：订单与改变无关，但是当你爬楼梯时，订单很重要。

您可以使用动态编程来解决问题，但需要更复杂的状态。 设a[i][j]是仅使用硬币的前j面币来改变i单位货币的方法的数量。 因此，对于大于0的a[0][0]=1 ， a[i][0] = 0对于大于0的j， a[i][j] = a[i][j-1] + a[i-Sj][j-1] + a[i-2*Sj][j-1]+...

Answer 3

为什么我们不能在这个问题中使用类似的方法？

这里详细解释一下，为什么这个思路行不通 - https://youtu.be/1P04Pf5RtEM

确实，这可能是我们的第一个预感，但它有一个问题。

考虑一个示例 {1,2,3} 是面额，所需的总和是 4。现在，假设我们一个接一个地挑选硬币。 看起来我们的答案 f(4) 应该是 f(4-1) + f(4-2) + f(4-3)。

f(4-1) 是什么意思？ 它代表了我们可以制作 3 的方法的数量。其中一种方法是捡起 3 卢比的硬币。 因此，制作 4 的方法之一是挑选 Re 1 硬币，然后挑选 Rs 3 硬币。

f(4-3) 是什么意思？ 它表示我们可以制造 1 的方法的数量。其中一种方法是捡起 Re 1 硬币。 因此，制作 4 的方法之一是选择 3 卢比的硬币，然后选择 Re 1 的硬币。

现在，两者之间有什么区别吗？ 不，因为两者都代表拿起 1 Re 1 硬币和 1 Rs 3 硬币。 但是，我们会将这两种方式算作两种不同的方式，这是不正确的。 因此，通过这种方式，简单地使用较小问题的答案来推导出较大问题的答案并不简单。