为什么要在整数背包中使用Capacity-1？

Question

对于容量为C的背包，对于n个项目，其中第一个项目的大小为Si且值为Vi的动态编程解决方案是：

M（C）= max（M（C-1），M（C-Si）+ Vi），其中i从1到n

这里M是一个数组。 M（C）表示容量为C的背包的最大值。

在这种关系中，M（C-1）有什么用？ 我的意思是解决方案应该是这样的：

M（C）= max（M（C-Si）+ Vi），其中i从1到n

我认为M（C-1）涵盖的所有情况都包含在M（C）中。

如果我错了，请举个例子。

Answer 1

我认为您必须对公式的设置有些困惑-特别是，您将装袋的容量与n-1个子问题混为一谈。 让我们重新定义一下。

• 令P表示问题，由n项列表表示。
• 此外，让Pk表示由原始问题的索引为1...k的项组成的子问题，其中1 <= k <= n 。 因此， Pn等于P
• 对于索引i处的每个项目，让Vi表示该项目的值，而Si表示该项目的大小。
• 令C为袋子的容量， C >= 0
• 令M(Pk, C)表示容量为C Pk描述的问题的最优解。 M(Pk, C)返回解决方案中包含的项目列表（因此也返回最佳解决方案的值和袋子中的多余容量）。

对于每个项目，我们可以将其包含在最佳解决方案中，也可以不将其包含在最佳解决方案中。 显然，最佳解决方案是这两个选项中的任何一个都更可取。 唯一需要考虑的特殊情况是，所涉及的物品不能放入包中。 在这种情况下，我们必须排除它。

我们可以依靠递归为我们覆盖所有项目，因此不需要迭代。 因此所有：

M（Pk，C）= if（Sk> C）M（P（k-1），C）否则max（M（P（k-1），C），Vk + M（P（k-1）， C-Sk））