将图表分为两组

Question

问题来自Code jam 。

题：
有没有办法将图的节点划分为两个组，使得任何两个不能保留在同一组中的节点应该在不同的组中。
这有什么标准算法吗？

当每个组应该具有相同的元素时，我应该如何解决这个问题。

Answer 1

首先，可行性问题（有这样的设置/不存在这样的设置）是2着色问题 ，其中：

G = (V,E)
V = { all nodes } 
E = { (u,v) | u and v are "troubling each other" } 

通过检查图形是否是双向的 ，可以使用BFS完成此问题。

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如何解决每个群体应该具有相同要素的问题。

首先，让我们假设图是双向的，所以有一些解决方案。

将图形拆分为一组连接的组件： (S1,S2,S3,...,Sk) 。
每个连通分量实际上是子图（Si = Li，Ri） - 其中Li，Ri是二分图的两侧（如果忽略Li和Ri的顺序，则每个连通分量中只有一个这样的分裂）。

创建一个新数组：

arr[i] = |Li| - |Ri|   
where |X| is the cardinality of X (number of elements in the set)

现在，解决这个问题与解决分区问题相同，这可以在伪多项式时间（在节点数量中是多项式）中完成。

分区问题的解决方案将每个arr[i]分成A或B ，使得sum{A}尽可能接近sum{B} 。 如果arr[i]在A ，在您的解决方案中，将Li标记为“1”，将Ri标记为“2”。 否则 - 做相反的事情。

解是O(k*n+m) ，其中k是连通分量的数量， n是图中节点的数量， m是图中边的数量。

Answer 2

您从给定节点构建图形（使用散列表将名称映射到节点）然后使用BFS或DFS遍历图形并确定其是否为二分（即，divisibe为两个不相交的集合，使得节点在一个集合只是在另一个集合中的节点“麻烦”，而不是在它自己的集合中的任何节点）。 这是通过为BFS / DFS访问的每个节点分配一个布尔值，然后检查其任何访问的邻居是否具有相同的值来完成的，这意味着该图不是二分的（不能分成两组）。