用于计算数字和的组合数得出固定结果的算法难题

Question

自昨晚以来，这是我想到的一个难题。 我想出了一个解决方案，但是效率不高，所以我想看看是否有更好的主意。

难题是这样的：

给定正整数N和T，您将需要：

for i in [1, T], A[i] from { -1, 0, 1 }, such that SUM(A) == N

additionally, the prefix sum of A shall be [0, N], while when the prefix sum PSUM[A, t] == N, it's necessary to have for i in [t + 1, T], A[i] == 0

here prefix sum PSUM is defined to be: PSUM[A, t] = SUM(A[i] for i in [1, t])

the puzzle asks how many such A's exist given fixed N and T

例如，当N = 2 ， T = 4 ，遵循A的工作：

1 1 0 0
1 -1 1 1
0 1 1 0

但以下不要：

-1 1 1 1  # prefix sum -1
1 1 -1 1  # non-0 following a prefix sum == N
1 1 1 -1  # prefix sum > N

当给定N为expect且给定A实例为seq时，以下python代码可以验证该规则（某些人可能比阅读文字描述更容易阅读代码）：

def verify(expect, seq):
    s = 0
    for j, i in enumerate(seq):
        s += i
        if s < 0:
            return False
        if s == expect:
            break
    else:
        return s == expect
    for k in range(j + 1, len(seq)):
        if seq[k] != 0:
            return False
    return True

我已经编写了解决方案的代码，但是太慢了。 以下是我的：

我将问题分解为两部分，一部分不包含-1 （仅{0, 1} ，另一部分带有-1 。

因此，如果SOLVE(N, T)是正确答案，则定义一个函数SOLVE'(N, T, B) ，其中正B允许我将前缀和扩展为[-B, N]的区间的[0, N]

所以实际上SOLVE(N, T) == SOLVE'(N, T, 0) 。

所以我很快意识到解决方案实际上是：

1. 具有A的前缀是一些有效的{0, 1}组合，长度为l ，其中o 1 s
2. 在位置l + 1 ，我开始加1个或多个-1 s并使用B来跟踪数字。 最大值将为B + o或取决于A剩余的插槽数，以较小者为准。
3. 递归调用SOLVE'(N, T, B)

在前面的N = 2, T = 4示例中，在一种搜索情况下，我将执行以下操作：

1. 假设A的前缀为[1]，则A = [1, -, -, -] 。
2. 开始添加-1 。 在这里，我将仅添加一个： A = [1, -1, -, -] 。
3. 递归调用SOLVE' ，这里我将调用SOLVE'(2, 2, 0)解决最后两个问题。 在这里它将仅返回[1, 1] 。 然后组合之一会产生[1, -1, 1, 1] 。

但是这个算法太慢了。

我想知道如何优化它或以其他方式查看可以提高性能的问题（我只需要这个想法，而不是暗示）

编辑：

一些示例将是：

T N RESOLVE(N, T)
3 2 3
4 2 7
5 2 15
6 2 31
7 2 63
8 2 127
9 2 255
10 2 511
11 2 1023
12 2 2047
13 2 4095
3 3 1
4 3 4
5 3 12
6 3 32
7 3 81
8 3 200
9 3 488
10 3 1184
11 3 2865
12 3 6924
13 3 16724
4 4 1
5 4 5
6 4 18

指数时间解决方案通常如下（在python中）：

import itertools
choices = [-1, 0, 1]
print len([l for l in itertools.product(*([choices] * t)) if verify(n, l)])

Answer 1

一个观察结果：假设n至少为1 ，则您所陈述问题的每个解决方案都以[1, 0, ..., 0]形式结束：即，单个1后跟0或多个0 s。 解决方案在该点之前的部分是一个完全位于[0, n-1] ，从0开始，在n-1结束且步长少于t步行。

因此，您可以将原始问题简化为一个简单的问题，即确定[0, n]中有多少t步走，从0开始到n （每个步可以是0 ， +1或-1 ，和以前一样）。

以下代码解决了较简单的问题。 它使用lru_cache装饰器来缓存中间结果。 可以在Python 3的标准库中找到，也可以从Python 2下载食谱 。

from functools import lru_cache

@lru_cache()
def walks(k, n, t):
    """
    Return the number of length-t walks in [0, n]
    that start at 0 and end at k. Each step
    in the walk adds -1, 0 or 1 to the current total.

    Inputs should satisfy 0 <= k <= n and 0 <= t.
    """
    if t == 0:
        # If no steps allowed, we can only get to 0,
        # and then only in one way.
        return k == 0
    else:
        # Count the walks ending in 0.
        total = walks(k, n, t-1)
        if 0 < k:
            # ... plus the walks ending in 1.
            total += walks(k-1, n, t-1)
        if k < n:
            # ... plus the walks ending in -1.
            total += walks(k+1, n, t-1)
        return total

现在我们可以使用此功能解决您的问题。

def solve(n, t):
    """
    Find number of solutions to the original problem.
    """
    # All solutions stick at n once they get there.
    # Therefore it's enough to find all walks
    # that lie in [0, n-1] and take us to n-1 in
    # fewer than t steps.
    return sum(walks(n-1, n-1, i) for i in range(t))

我的机器上的solve(10, 100)结果和时间：

In [1]: solve(10, 100)
Out[1]: 250639233987229485923025924628548154758061157

In [2]: %timeit solve(10, 100)
1000 loops, best of 3: 964 µs per loop