库 NTL 中的扩展多项式

Question

有使用 NTL 库编写的代码：

int main()
{
      ZZ_p::init(ZZ(5)); // define GF(5)

      ZZ_pX P;
      BuildIrred(P, 4); // generate an irreducible polynomial P
                         // of degree 4 over GF(5)

      ZZ_pE::init(P); // define GF(5^4)

      ZZ_pEX f, g, h;  // declare polynomials over GF(5^4)

      random(f, 3);  // f is a random, monic polynomial of degree 3
      SetCoeff(f, 3);
      cout << f << endl<< endl;
}

输出是：

[[3 1 1 4] [2 1 3 2] [1 0 3 1] [1]]

例如， [1 2 3]是平均3x² + 2x + 1 。
在这种情况下，GF 上的符号多项式的形式是什么？

Answer 1

你的问题有点难以理解。 如果我理解正确的话，问题是如何解释具有 5⁴ 元素的有限域上多项式的 NTL 表示[[3 1 1 4] [2 1 3 2] [1 0 3 1] [1]] 。

第一：具有 5⁴ 个元素的有限域中的元素（称为GF(5⁴) ）表示为多项式GF(5)[X] mod f ，其中f是 4 次不可约多项式。

这意味着GF(5⁴)上的多项式是多项式，其中系数是GF(5)[X] mod f中的多项式。

所以[[3 1 1 4] [2 1 3 2] [1 0 3 1] [1]]可以解释为

Y³ + (X³ + 3X² + 1)⋅Y² + (2X³ + 3X² + X + 2)⋅Y + (4X³ + X² + X + 3)

注意：评论在

random(f, 3);  // f is a random, monic polynomial of degree 3
SetCoeff(f, 3);

有点误导。 random(f,3)将f设置为阶数小于3 的随机多项式。 SetCoeff(f, 3)将Y³的系数Y³为1 ，之后它是阶数为 3 的多项式。