找到两个元素之间的最大距离，这两个元素的差异不超过k

Question

给定一个数组arr，找到最大的abs（ij），使得abs（arr [i] - arr [j]）<= k。

经过深思熟虑后，我想出了以下算法，

1) Create a new array of pair<arr[i], i> (say arrayIndexPairs)
2) Sort this arrayIndexPairs based on the array value (first of pair).
3) Build a segment tree on the index (second of pair) with the arrayIndexPairs so that we can answer range max queries
4) for i <- 0 to n-1
    4.1) rightIndex = Binary search the array values (first of pair) for ceil(arrayIndexPairs[i].first) in the interval [i+1, n-1]
    4.2) int maxIndex = rangeQueryForMax(i+1, rightIndex)
    4.3) result = max(result, maxIndex - i);
return result

对于我们进行二元搜索O(log n) + rangeQuery ， O(log n)每个元素，复杂度为O(n log n) O(log n) 。 总时间复杂度为O(nlogn + n*2*logn) ，其渐近为O(nlogn) 。

方法是否正确？ 有可能制定线性时间解决方案吗？ 我尝试使用散列图，但很难找到线性解决方案。

Answer 1

我想出了这个：

def find_max_abs(l, k):
    for lenght_of_interval in range(len(l), 1, -1):
        for start_of_interval in range(0, len(l) - lenght_of_interval + 1):
            if abs(l[start_of_interval] - l[start_of_interval + lenght_of_interval - 1]) <= k:
                return lenght_of_interval - 1

应该很好地工作，但它不是线性的（最坏的情况是N²）。 如果存在线性算法，我感兴趣

Answer 2

对于一般情况，您的想法似乎很有效。

对于元素都是整数的情况，您可以在Θ（nk）预期时间内完成。 如果k = o（log（n）） ， 这是一个保存 。 如果k是常数，则n是线性的。

1. 将所有元素放在一个哈希表中，将每个元素e映射到它在数组i中的位置（如果有多个e ，让你在哈希表中放置的每个条目都覆盖前一个 - 这没关系）。

2. 对于位置i处的每个元素e ，以及d = -k， - （k-1），... 0,1，... k ，检查e + d是否在哈希表中。 如果是这样，你就可以从哈希表中获得e + d的位置，比如j 。

3. 保留2中找到的最大距离的位置。

Answer 3

似乎有点强迫“线性”的定义。 我会以不同的方式接近。 我们可以注意到函数距离d正在搜索最大值。 所以我们知道有以下组合： - DIST COUPLES COUNT

• d = n-1（a [0]，a [n-1]）1

• d = n-2（a [0]，a [n-2]），（a [1]，a [n-1]）2

• ...
• d = 1（a [0]，a [1]）...（a [n-2]，a [n-1]）n-1

由于我们搜索最大值，我们将首先通过最大距离进行调查。 所以我们有最好的情况O（1），最坏的情况是从1到n-1 =（n-1）*（n / 2）= O（n2）之和。 平均我期望更好的表现，因为它可以非常有效地实施。
这里的C实现：

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#define ARRAYSIZE 10000

int find_dist(int * result, const int *array, int n,int k )
{
  int i,j,ti;
  for (i=n-1;i>0;i--)
  { 
     ti=i;       
     for (j=0;ti< n ; j++,ti++)
        if (abs(array[j]-array[ti])<=abs(k))
            {
                result[0]=j;
                result[1]=ti;
                return 1;
            }
   }
return 0;
}

int main()
{
  int array[ARRAYSIZE],result[2],i;
  for (i=0;i<ARRAYSIZE;i++)
    {
        array[i]=rand()%1000;
        //printf("%d ",array[i]);
    }
  if (find_dist(result,array,ARRAYSIZE,3))
    printf ("\n%d %d\n",result[0],result[1]);
  else
    printf ("No items match requirement\n");
 }