给定整数n，返回它可以表示为1和2之和的方式的数量

Question

例如：

5 = 1+1+1+1+1

5 = 1+1+1+2

5 = 1+1+2+1

5 = 1+2+1+1

5 = 2+1+1+1


5 = 1+2+2

5 = 2+2+1

5 = 2+1+2

任何人都可以提供关于如何做到这一点的伪代码的提示。 老实说，不知道如何开始。 这看起来像指数问题可以在线性时间内完成吗？

谢谢。

Answer 1

在示例中，您提供的加数顺序很重要。 （请参阅示例中的最后两行）。 考虑到这一点，答案似乎与斐波那契数字有关。 设F(n)是n可以写为1和2的方式。 然后最后加入的是1或2.所以F(n) = F(n-1) + F(n-2) 。 这些是初始值：

F(1) = 1 (1 = 1)
F(2) = 2 (2 = 1 + 1, 2 = 2)

Answer 2

这实际上是第（n + 1）个斐波纳契数。 原因如下：

让我们称f（n）表示n的方式的数量。 如果你有n，那么你可以把它表示为（n-1）+1或（n-2）+2。 因此，表示它的方式是表示它的方式的数量是f（n-1）+ f（n-2）。 这与Fibonacci数相同。 此外，我们看到n = 1然后我们有1路，如果n = 2那么我们有2路。 因此第（n + 1）个斐波那契数是你的答案。 有很多算法可以非常快速地计算出巨大的斐波纳契数。

Answer 3

排列

如果我们想要知道有多少可能的排序，那么在一些大小为n的情况下没有重复（即，从可用池中删除所选择的元素）， n （或n！ ）的阶乘给出了答案：

double factorial(int n)
{
    if (n <= 0)
        return 1;
    else
        return n * factorial(n - 1);
}

注意：这也有一个迭代解决方案，甚至可以使用gamma函数进行近似：

std::round(std::tgamma(n + 1)); // where n >= 0

---

问题集以全1开始。 每次设置更改时，两个1将替换为一个2 。 我们想要找到k个项目（ 2s ）可以在一组大小n中排列的方式的数量。 我们可以通过计算来查询可能的排列数：

double permutation(int n, int k)
{
    return factorial(n) / factorial(n - k);
}

但是，这不是我们想要的结果。 问题是，排列考虑排序，例如，序列2,2,2将计为六个不同的变化。

组合

这些基本上是忽略排序的排列。 由于订单不再重要，许多排列都是多余的。 通过计算k可以找到每个排列的冗余！ 。 将排列数除以此值可得出组合数：

注意：这称为二项式系数 ，应理解为“ n选择k” 。

double combination(int n, int k)
{
    return permutation(n, k) / factorial(k);
}

int solve(int n)
{
    double result = 0;

    if (n > 0) {
        for ( int k = 0; k <= n; k += 1, n -= 1 )
            result += combination(n, k);
    }
    return std::round(result);
}

这是一般解决方案。 例如，如果问题是找到整数可以表示为1和3之和的方式的数量，我们只需要在每次迭代时调整集合大小（ n - 2 ）的减量。

斐波纳契数

使用Fibonacci数的解决方案起作用的原因与它们与二项式系数的关系有关。 二项式系数可以被安排成形成Pascal三角形 ，当存储为下三角矩阵时，可以使用n和k作为行/列索引来访问该二进制系数，以将该元素定位为等于组合（n，k） 。

n和k的模式随着它们在求解的生命周期中的变化而变化，当在2-D网格上作为坐标观察时绘制对角线。 沿Pascal三角形的对角线求和值的结果是斐波那契数。 如果模式改变（例如，当找到1和3的总和时），则不再是这种情况，并且该解决方案将失败。

有趣的是，Fibonacci数可以在恒定时间内计算。 这意味着我们只需找到第（n + 1 ）个 Fibonacci数就可以在恒定时间内解决这个问题。

int fibonacci(int n)
{
    constexpr double SQRT_5 = std::sqrt(5.0);
    constexpr double GOLDEN_RATIO = (SQRT_5 + 1.0) / 2.0;

    return std::round(std::pow(GOLDEN_RATIO, n) / SQRT_5);
}

int solve(int n)
{
    if (n > 0)
        return fibonacci(n + 1);
    return 0;
}

最后，由factorial和fibonacci函数生成的数字可能非常大。 因此，如果n很大，则可能需要大型数学库。

Answer 4

这是使用回溯的代码，它可以解决您的问题。 在每一步，同时记住到目前为止用于获得总和的数字（使用此处的向量），首先制作它们的副本，首先从n中减去1并将其添加到副本然后用n-1和副本重复向量添加1并在n == 0时打印。 然后返回并重复2，这基本上是回溯。

#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
void print(vector<int> vect){
    cout << n <<" = ";
    for(int i=0;i<vect.size(); ++i){
       if(i>0)
           cout <<"+" <<vect[i];
       else cout << vect[i];
    }
    cout << endl;
}

void gen(int n, vector<int> vect){
   if(!n)
      print(vect);
   else{
      for(int i=1;i<=2;++i){
          if(n-i>=0){
              std::vector<int> vect2(vect);
              vect2.push_back(i);
              gen(n-i,vect2);
          }
      }
   }
}

int main(){
   scanf("%d",&n);
   vector<int> vect;
   gen(n,vect);
}

Answer 5

这个问题可以很容易地显示如下：

考虑一只青蛙，它出现在楼梯前面。 它需要到达第n-th楼梯，但他一次只能在楼梯上跳1或2步。 找出他可以到达第n-th楼梯的方式？

设T(n)表示到达第n-th楼梯的方式的数量。

所以， T(1) = 1和T(2) = 2 （2个一步跳跃或1个两步跳跃，所以2种方式）

为了到达第n-th楼梯，我们已经知道到达第(n-1)th楼梯和第(n-2)th楼梯的方式的数量。

因此，一旦从第(n-1)th阶梯跳过​​一步或从第(n-2)th阶段跳出两步就可以简单地到达第n-th阶梯......

因此， T(n) = T(n-1) + T(n-2)

希望能帮助到你！！！