多维数组（或张量）和向量的乘积

Question

我想寻求一种快速的方法来执行以下操作，无论是在本机Matlab，C ++中还是使用工具箱/库，无论哪种方法都能提供最快的解决方案。

令M为D维的张量： n1 x n2 x... x nD ，令v1 ， v2 ，...， vD为维数分别为n1 ， n2 ，...， nD D向量。

1. 计算乘积M*vi （1 <= i <= D）。 结果是（D-1）维的多维数组。
2. 用vi以外的所有向量计算M的乘积。

例如，D = 3：

• M和v1的乘积是2维的张量N （即矩阵），其中

N[i2][i3] = Sum_over_i1 of M[i1][i2][i3]*v1[i1]

• M和v2的乘积是矩阵N ，其中

N[i1][i3] = Sum_over_i2 of M[i1][i2][i3]*v2[i2]

• M与v2和v3的乘积是向量v ，其中

v[i1] = Sum_over_i2 of (Sum_over_i3 of M[i1][i2][i3]*v2[i2]*v3[i3] ）

进一步的问题：以上但针对稀疏张量。

下面给出了Matlab代码的示例。

预先非常感谢您的帮助！

n1 = 3;
n2 = 5;
n3 = 4;

M = randn(n1,n2,n3);
v1 = randn(n1,1);
v2 = randn(n2,1);
v3 = randn(n3,1);

%% N = M*v2
N = zeros(n1,n3);
for i1=1:n1
    for i3=1:n3
        for i2=1:n2
            N(i1,i3) = N(i1,i3) + M(i1,i2,i3)*v2(i2);
        end
    end
end

%% v = M*v2*v3
v = zeros(n1,1);
for i1=1:n1
    for i2=1:n2
        for i3=1:n3
            v(i1) = v(i1) + M(i1,i2,i3)*v2(i2)*v3(i3);
        end
    end
end

Answer 1

我注意到您正在描述的操作采用M （D-1）维切片，并通过vi的相应条目对其进行缩放，然后将结果求和到vi的索引上。 这段代码似乎可以在您的示例中获得N ：

N2 = squeeze(sum(M.*(v2)', 2));

要在代码中获得v ，您要做的就是将N乘以v3 ：

v2 = N2*v3;

编辑

在较旧的MatLab版本中，按元素运算符.*不能像我在上面使用它的方式那样工作。 一种替代方法是bsxfun ：

N2 = squeeze(sum(bsxfun(@times, M, v2'), 2));

刚刚检查过：就性能而言， bsxfun方法看起来与大型阵列的.*方法一样快，至少在R2016b上是如此。