在Matlab中'qr'和'SVD'之间有什么区别来获得矩阵的单个向量？

Question

特别地，以下两种代码可以获得相同的S和V。 但是，第二个的速度通常比Matlab中的第一个速度快。 有人可以告诉我原因吗？ 而且，哪种方法在数值上更稳定？ 谢谢。

[~,S,V] = svd(B,'econ');


[Qc,Rc] = qr(B',0);
[U,S,~] = svd(Rc,'econ');
V = Qc*U;

Answer 1

第二种方法不必更快。 对于几乎平方的矩阵，它可能会更慢。 以Golub-Reinsch SVD算法为例：

它的工作取决于您想要计算的输出（仅S ， S和V或S ， V和U ）。

如果要在不执行任何预处理的情况下计算S和V ，则所需的工作量为4mn ^ 2 + 8n ^ 3 。

如果在此之前执行QR分解，则所需的工作量为： 2 / 3n ^ 3 + n ^ 2 + 1 / 3n-2，用于Housholder转换。 现在，如果你的矩阵几乎是平方的，即m = n，那么你的增益并不大，因为R仍然是mx n。 但是， 如果m大于n，则可以将R减少为nxn矩阵（称为精简QR分解） 。 现在你要计算U和S ，它将为你的SVD算法增加12n ^ 3 。

所以只有SVD： 4mn ^ 2 + 8n ^ 3

具有QR的SVD： （12 + 2/3）n ^ 3 + n ^ 2 + 1 / 3n-2

然而，大多数SVD算法应该包含一些（R-）双对角化，这将使工作减少到： 2mn ^ 2 + 11n ^ 3

您还可以应用QR，R-bifactorization然后使用SVD使其更快，但这一切都取决于您的矩阵尺寸。

Matlab用于SVD的Lapack库。 您可以在此处查找确切的运行时间。 它们与上述算法大致相同。

希望这可以帮助。