给定一个邻接图和多次遍历，优化查找最遍历的边的方法

Question

给我一棵树的N个顶点及其对应的邻接图，用N数组adjGraph[N][N]表示为N。 例如，如果（1,3）是边，则adjGraph[0][2] == 1 。 否则，对于不是边缘的（i，j）s， adjGraph[i][j] == 0 。

我得到了以下形式的一系列输入：

1 5

表示从顶点1到顶点5已经遍历了一条路径。我希望找到被遍历次数最多的边以及遍历的次数。 为此，我有另一个N by N数组numPass[N][N] ，我首先将其元素初始化为0，然后每当我确定包含与其索引匹配的边的路径时，将其元素递增1。 例如，如果路径（2,4）包含边（2,3）和（3,4），则我将numPass[1][2]和numPass[2][3]增加1。

据我了解，要解决的主要问题是输入仅提供起始顶点和终止顶点的信息，并且由我自己确定哪个边将两者连接。 由于给定的图是一棵树，因此两个顶点之间的任何路径都是唯一的。 因此，我假定在给定任何输入路径的终点顶点的索引的情况下，我将能够递归地回溯连接了哪些边。

以下是我牢记这一想法尝试实现的功能代码：

// find the (unique) path of edges from vertices x to y
// and increment edges crossed during such a path
void findPath(int x, int y, int N, int adjGraph[][N], int numPass[][N]) {
int temp;

// if the path is a single edge, case is trivial
if (adjGraph[x][y] == 1) {
    numPass[x][y] += 1;
    return;
}

// otherwise, find path by backtracking from y
backtrack: while (1) {
    temp = y-1;
    if (adjGraph[temp][y] == 1) {
        numPass[temp][y] += 1;
        break;
    }
}
if (adjGraph[x][temp] == 1) {
    numPass[x][temp] += 1;
    return;
} else {
    y = temp;
    goto backtrack;
}

但是，问题是，尽管我的代码对于小型输入可以正常工作，但对于大型输入却会用尽内存，因为我的内存限制为128MB，时间限制为1秒。 输入范围最多为222222个顶点和222222个输入路径。

如何优化我的方法以满足如此大量的输入？

Answer 1

1. 摆脱邻接矩阵（它使用O(N^2)空间）。 请改用邻接表。

2. 使用更有效的算法。 让我们将树植根。 对于从a到b的路径，我们可以在a和b加1并从其lca中减去1（很容易看到，将a加到该路径的边上并且仅添加到它们）。

3. 处理完所有路径后，经过边缘的路径数只是子树中的总和。

如果我们使用高效的算法来计算lca，则此解决方案适用于O(N + Q * log N) ，其中Q是路径数。 对于这种约束，它看起来已经足够好了（实际上，通过使用更复杂，更有效的算法来查找lca，我们甚至可以做得更好，但我认为这里没有必要）。

注意：lca表示最低的共同祖先。