C ++排序向量时间复杂度

Question

假设我有一个带有N个向量的vector<vector<int>> L ，并且所有向量上的int s总数之和最多为M。标准C ++排序sort(L.begin(), L.end())吗？

vector<int>比较函数的运行时间最多为O（M），因此一个明显的界限是O（NM log N）。 但是，如果我们执行标准的mergesort，我们可以看到在每个O（log N）级别中最多完成了O（M）整数比较，因此运行时为O（（N + M）log N）。 这是因为比较长度为A和B的两个向量需要O（min（A，B））时间。

C ++标准是否保证运行时为O（（N + M）log N）？

Answer 1

没有足够的信息。 您还需要知道N向量上M值的分布 。 有了这些，就可以直接找到整体复杂性：

1. std::sort具有O(N·log(N))比较的复杂度。

2. std::vector使用std::lexicographical_compare(v1, v2)进行比较，比较复杂度为O(min(v1.size(), v2.size()))比较。

3. int比较的复杂度为O(1) 。

4. 我们会通知E(M, N)是在一个功能M ， N返回每一对内向量之间的最小元件的平均数 。

   • 例如，如果您有一个均匀分布 ，则这等于M/N
5. 取乘积： Big Oh = N·log(N)·E(M, N)·1 。
   • 对于均匀分布 ，这将是M·log(N) 。

您可以使用离散概率分布理论来计算E(M, N)函数对于M在N任何分布的意义。

---

编辑1 ：要弄清楚这种情况的重要性：考虑一个总是使我的向量看起来像的分布：

outer[0].size() == 1,
outer[1].size() == 1,
outer[2].size() == 1,
...,
outer[M-1].size() == (M - N + 1)

在这种情况下， E(M, N) = 1 ，因为std::lexicographical_compare只会有一个其他元素要与任何一对元素进行比较。 因此，对于这种特定的分布，我将始终具有O(N·log(N))的复杂度。 但是如果分布均匀，我将得到O(M·log(N)) 。

---

编辑2 ：在定义分布的注释之后，让我们尝试找到E(M, N) 。

首先，请注意总共有T = (N choose 2) = N(N - 1)(1/2)向量比较的不同组合。

一个（只有一个）组合将进行X = O((M - N + 2)(1/2))比较，并且发生概率P(X) = 1/T

其他所有组合仅需要1比较（ O(1) ），因此这些情况的发生概率为P(1) = (T - 1)/T

求平均值很简单： X·P(X) + 1·P(1) 。

鉴于此， WolframAlpha说： E(M, N) = (M + (N - 2) N)/((N - 1) N) 。

该函数乘以N log(N)得到(M + (N - 2) N) log(N) / (N - 1) ，可以进一步简化为您要查找的Big Oh： O((M/N + N) log(N)) 。

Answer 2

如果您的Integers 或多或少是随机的 ^1） ，大多数比较只需要比较每个向量的前几个整数（直到第一个不匹配），所以实际上/平均

M（反常）对算法复杂度没有任何影响

给你一些想法：即使向量有无限长并且最频繁出现的整数的p概率为50％， 平均您也需要进行少于2次比较 ：

k < ∑ i*p^i = p/(1-p)^2 | p=0.5 
k < ∑ i*0.5^i = 2;

对于其他概率，结果为：

60% -> k <  2.5
70% -> k <  3.4
80% -> k <  5.0
90% -> k < 10.0

请记住，所有这些数字都是整数比较的平均数的 上限 ，并且与向量中的元素数无关

^1）随机是指密码意义上的随机。 这些数字甚至不必通过大多数随机数字质量测试。 唯一的要求是它们不能以系统的方式形成相同的前缀（随向量的长度而增长）。
除了恶意输入，我目前无法想到一个不符合“或多或少随机性”的现实示例，但可能还有其他情况。